點雙連通分量和邊雙連通分量學習筆記

1.簡介：

對於一個連通圖，如果任意兩點至少存在兩條點不重復路徑，則稱這個圖為點雙連通的（簡稱雙連通）；如果任意兩點至少存在兩條邊不重復路徑，則稱該圖為邊雙連通的。點雙連通圖的定義等價於任意兩條邊都同在一個簡單環中，而邊雙連通圖的定義等價於任意一條邊至少在一個簡單環中。對一個無向圖，點雙連通的極大子圖稱為點雙連通分量（簡稱雙連通分量），邊雙連通的極大子圖稱為邊雙連通分量。

而在每一個點雙連通圖中，內部無割點；

在每一個邊雙連通圖中，內部無橋。

如圖：

 

 

1、2、3，2、4、5為兩個點雙連通分量，1、2、3、4、5卻在一個邊雙連通分量中；其中，3為割點。

而第二個圖中，2-6邊為橋。

 

2.性質：
  <1>.點雙連通分量:
     (1).點雙連通分量之間以割點連接，且兩個點雙連通分量之間有且只有一個割點。
         證明：
            若兩個點雙連通分量之間共用兩個點，則刪除其中任意一個點，所有點依舊連通。
         如圖：

                        

     (2).每一個割點可任意屬於多個點雙連通分量，因此求點雙連通分量時，可能包含重復的點。
             (3).只有一條邊連通的兩個點也是一個點雙連通分量，如：

        

         所以，在下圖中，存在（1、2、3）,（3、4），（4、5、6）三個點雙連通分量。

         

     (4).對於此點為根的情況，第一個兒子也屬於點雙連通分量，故不能用判斷割點的方法來判斷，

         只要dfn[父]<=low[子]，便可將其加入點雙：

        

 

                在此圖中，1、2、3、4在同一個點雙連通分量里，但2是1的第一個兒子

    (5).對於刪去此點不會不與祖輩連通的兒子，在處理其他兒子的點雙連通分量時，不能將其刪去，如。

        

 

                    1、2、3共同構成一個點雙連通分量，不能在處理4、5、6是將其刪去。

                    所以代碼不該為：

                    

         while(s[top]!=u) ++siz[tot]=s[top],num[s[top]]=tot,--top;

                   而應是

                   

        v=e[i].to;
        while(s[top+1]!=v) ++siz[tot],num[s[top]]=tot,--top;

       <2>.邊雙連通分量：

        可將圖看作森林，節點為邊雙連通分量，樹邊為橋:

               

        第二張圖是第一張圖中的點雙連通分量縮點后的樣子。

 

     邊雙連通分量沒有什么性質，反正也很簡單。                   ——LY巨佬

3.做法和代碼:

    日復一日的神仙tarjan算法：

     1>.點雙連通分量：

        用棧來儲存，按dfs序來加點，將此點與low小於其dfn的點放入一個點雙連通分量中（注：此點不退棧）

        

void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++deep; s[++top]=u; int o=0,v;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        v=e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            ++o;
            tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u])
            {
                if(u!=fa) cut[u]=1; ++tot;
                while(s[top+1]!=v) num[tot][++siz[tot]]=s[top],id[s[top]]=tot,--top;
                num[tot][++siz[tot]]=u;//將id[u]默認屬於它父親的tot了
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(u==fa&&o>=2) cut[u]=1;
}

 

     2>.邊雙連通分量：

        刪去橋就行了。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5006,M=10006;
int head[N],cnt=1,n,m,t1,t2,book[N],dfn[N],low[N],deep=0,v[M*2],f[N],tot=0,d[N],g[N],p=0,num[N][N],siz[N];
map<int,int> ha[N];
int getf(int u){return g[u]==u?u:g[u]=getf(g[u]);}
void merge(int u,int v)
{
    u=getf(u); v=getf(v);
    if(u==v) return;
    g[u]=v;
}
struct edge
{
    int nxt,to;
}e[M*2]; 
inline int read()
{
    int T=0,F=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') F=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') T=(T<<3)+(T<<1)+(ch-48),ch=getchar();
    return F*T;
}
inline void add(int u,int v){e[++cnt].nxt=head[u]; e[cnt].to=v; head[u]=cnt;} 
void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++deep;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        if(v[i^1]||v[i]) continue;
        if(!dfn[e[i].to]) v[i]=1,f[e[i].to]=u,tarjan(e[i].to),low[u]=min(low[u],low[e[i].to]);
        else low[u]=min(low[u],dfn[e[i].to]);
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) g[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;++i) t1=read(),t2=read(),add(t1,t2),add(t2,t1);
    for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i=1;i<=n;++i) if(f[i]&&low[i]>dfn[f[i]]) ++tot,ha[i][f[i]]=1,ha[f[i]][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt) if(ha[i].find(e[j].to)==ha[i].end()) merge(i,e[j].to);
    for(int i=1;i<=n;++i) g[i]=getf(i);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(!book[g[i]]) ++p,d[g[i]]=p,book[g[i]]=1;
        g[i]=d[g[i]],num[g[i]][++siz[g[i]]]=i;
    } 
    printf("共有%d個邊雙連通分量\n",p);
    for(int i=1;i<=p;++i)
    {
        printf("第%d個邊雙連通分量共有%d個點",i,siz[i]);
        for(int j=1;j<=siz[i];++j) printf("%d ",num[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}