14:27:28 寫一首十幾歲聽的情歌，可惜我沒在那個時候遇見你，否則我努力活到百歲以后，就剛好愛你一整個世紀 ——《零幾年聽的情歌》
今天是待在學校的最后一天了，撒花，慶祝！！！那也祝自己十六歲生日快樂
最近肺炎傳染有點嚴重，大家能點外賣點外賣，能躺床躺床，少出門，你肆無忌憚賴在家的機會來了！！！
好了，今天要講的呢，是要待在家好好學習一下的強連通分量。
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概念
連通分量：在無向圖中，即為連通子圖。
有向圖強連通分量：在有向圖G中，如果兩個頂點vi,vj間（vi>vj）有一條從vi到vj的有向路徑，同時還有一條從vj到vi的有向路徑，則稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)
極大強連通子圖：G是一個極大強連通子圖，當且僅當G是一個強連通子圖且不存在另一個強連通子圖G’，是得G是G'的真子集
下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。
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用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間復雜度為O(N^2+M)。
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Kosaraju算法或Tarjan算法求強連通分量，兩者的時間復雜度都是O(N+M)。
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Tarjan算法
基於對圖深度優先搜索，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。
算法流程
- 搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧
- 回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。
- 定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。
- 當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。
以下為網上找的算法演示流程：
從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。
返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個強連通分量。
返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有后向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
繼續回到節點1，最后訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。
P1407 [國家集訓隊]穩定婚姻
此題需要用到一個map，就是類似於此。
map<string,int> a;、 for(int i=1;i<=n;i++) { string x,y; cin>>x>>y; a[x]=++tot;a[y]=++tot; }
因為需要存圖，我在這里用的vector的鄰接表，詳細請看第三關。
這道題主要用到的就是targan算法，具體看代碼，當然也有其他方法可以用
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m,d[20009],tot,cnt,l[20009]; bool v[20009]; vector<int> f[8005]; map<string,int> a; stack<int> s; void tarjan(int x) { d[x]=l[x]=++cnt; v[x]=true; s.push(x); for(int i=0;i<f[x].size();++i) { int o=f[x][i]; if(!d[o]) { tarjan(o); l[x] =min(l[x], l[o]); } else if(v[o])l[x]=min(l[x],d[o]); } if(d[x]==l[x]) { v[x]=false; while(s.top()!=x) { v[s.top()]=false; s.pop(); } } } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { string x,y; cin>>x>>y; a[x]=++tot;a[y]=++tot; f[a[x]].push_back(a[y]); } scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { string x,y; cin>>x>>y; f[a[y]].push_back(a[x]); } cnt = 0; for(int i=1;i<=n*2;i++) if(!d[i]) tarjan(i); cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(l[++cnt]==l[++cnt]) printf("Unsafe\n"); else printf("Safe\n"); } return 0; }
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Kosaraju算法
基於對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實際的測試中，Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。
算法流程：
- 先用對原圖G進行深搜生成樹
- 然后任選一棵樹對其進行深搜(注意這次深搜節點A能往子節點B走的要求是EAB存在於反圖GT)
- 能遍歷到的頂點就是一個強連通分量
- 余下部分和原來的樹一起組成一個新的樹
- 直到沒有頂點為止。
首先了解kosarajuo法，要想了解逆圖
逆圖(Tranpose Graph ):
我們對逆圖定義如下：
GT=(V, ET)，ET={(u, v):(v, u)∈E}}
以下為網上找的算法演示流程：
上圖是對圖G,進行一遍DFS的結果，每個節點有兩個時間戳，即節點的發現時間u.d和完成時間u.f
我們將完成時間較大的，按大小加入堆棧
1)每次從棧頂取出元素
2)檢查是否被訪問過
3)若沒被訪問過，以該點為起點，對逆圖進行深度優先遍歷
4)否則返回第一步，直到棧空為止
對逆圖搜索時，從一個節點開始能搜索到的最大區塊就是該點所在的強連通分量。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e6+5; struct edge{ int to,next; }edge1[maxn],edge2[maxn]; //edge1是原圖，edge2是逆圖 int head1[maxn],head2[maxn]; bool mark1[maxn],mark2[maxn]; int tot1,tot2; int cnt1,cnt2; int st[maxn];//對原圖進行dfs，點的結束順序從小到大排列。 int belong[maxn];//每個點屬於哪個聯通分量 int num;//每個聯通分量的個數 int setnum[maxn];//每個聯通分量中點的個數 void addedge(int u,int v){ edge1[tot1].to=v;edge1[tot1].next=head1[u];head1[u]=tot1++; edge2[tot2].to=u;edge2[tot2].next=head2[v];head2[v]=tot2++; } void dfs1(int u){ mark1[u]=true; for(int i=head1[u];i!=-1;i=edge1[i].next) if(!mark1[edge1[i].to]) dfs1(edge1[i].to); st[cnt1++]=u; } void dfs2(int u){ mark2[u]=true; num++; belong[u]=cnt2; for(int i=head2[u];i!=-1;i=edge2[i].next) if(!mark2[edge2[i].to]) dfs2(edge2[i].to); } void solve(int n){//點編號從1開始 memset(mark1,false,sizeof(mark1)); memset(mark2,false,sizeof(mark2)); cnt1=cnt2=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(!mark1[i]) dfs1(i); for(int i=cnt1-1;i>=0;i--) if(!mark2[st[i]]){ num=0; dfs2(st[i]); setnum[cnt2++]=num; } } int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++){ int s,d; cin>>s>>d; addedge(s,d); } solve(1); return 0; }
P2002 消息擴散
其實kosaraju的復雜度和空間都要費的多一些
- 有自環
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縮點，然后找入度為0的強連通分量個數就好了。對此，需要用mp1和mp2數組記錄每條邊連接的點最后遍歷一遍所有的邊
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e5+5; const int maxx=5e5+5; vector<int>g[maxn],g2[maxn],st; bool vis[maxn]; int k,cmp[maxn],mp1[maxx],mp2[maxx],cnt,du[maxn]; int n,m; void dfs(int x){ vis[x]=1; for(int i=0;i<g[x].size();++i){ int s=g[x][i]; if(!vis[s]){ dfs(s); } } st.push_back(x); } void dfs2(int x,int k){ cmp[x]=k; vis[x]=1; for(int i=0;i<g2[x].size();++i){ int s=g2[x][i]; if(!vis[s]){ dfs2(s,k); } } } void init(){ for(int i=1;i<=n;i++){ if(!vis[i]) dfs(i); } for(int i=1;i<=n;i++){ vis[i]=0; } for(int i=st.size()-1;i>=0;i--){ if(!vis[st[i]]){ k++; dfs2(st[i],k); } } } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;++i){ int p1,p2; scanf("%d%d",&p1,&p2); cnt++; mp1[cnt]=p1;mp2[cnt]=p2; g[p1].push_back(p2); g2[p2].push_back(p1); } init(); for(int i=1;i<=cnt;i++){ int p1=mp1[i],p2=mp2[i]; if(cmp[p1]!=cmp[p2]){ // g[cmp[p1]].push_back(cmp[p2]); du[cmp[p2]]++; } } int ans=0; for(int i=1;i<=k;i++){ if(!du[i]) ans++; } printf("%d\n",ans); return 0; }
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縮點
定義：將有向圖中的強連通分量縮成一個點。
在Targan算法與Kosaraju算法中有所體現
P2194 HXY燒情侶
這是一道Targan加縮點的題
vector數組記錄每個聯通塊里的每一個點
最小汽油費即為每個聯通塊里最小點權
方案數即為每個聯通塊里最小點權的點數之積（乘法原理）%1e9+7
#include<bits/stdc++.h> #define N 501010 using namespace std; int n,head[N],tot,w[N],m,ans1,ans2=1; struct node { int to,next; } e[N]; void add(int u,int v) { e[++tot].to=v,e[tot].next=head[u],head[u]=tot; } const int mod=1e9+7; int dfn[N],low[N],item,b[N],a[N],cnt; bool vis[N]; stack<int>S; vector<int>g[N]; void tarjan(int u){ dfn[u]=low[u]=++item; S.push(u);vis[u]=1; for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(!dfn[v]){ tarjan(v); low[u]=min(low[u],low[v]); }else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); } if(low[u]==dfn[u]){ int v=u;++cnt; do{ v=S.top();S.pop(); vis[v]=0;b[v]=cnt;a[cnt]++; g[cnt].push_back(v); }while(v!=u); } } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]); scanf("%d",&m); for(int a,b,i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); add(a,b); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); for(int i=1;i<=cnt;i++){ int tpt=g[i].size(),sby=0,mi=mod; for(int j=0;j<tpt;j++){ if(w[g[i][j]]<mi){ mi=w[g[i][j]]; sby=1; }else if(mi==w[g[i][j]]) ++sby; } ans1+=mi; ans2=(ans2%mod*sby%mod)%mod; } printf("%d %d",ans1,ans2); return 0; }
21:37:37 我們也學會慢慢地慢慢地推卸，我們也有過一次又一次的越界。——王巨星《越界》