六度空間

“六度空間”理論又稱作“六度分隔（Six Degrees of Separation）”理論。這個理論可以通俗地闡述為：“你和任何一個陌生人之間所間隔的人不會超過六個，也就是說，最多通過五個人你就能夠認識任何一個陌生人。”如圖1所示。

圖1 六度空間示意圖

“六度空間”理論雖然得到廣泛的認同，並且正在得到越來越多的應用。但是數十年來，試圖驗證這個理論始終是許多社會學家努力追求的目標。然而由於歷史的原因，這樣的研究具有太大的局限性和困難。隨着當代人的聯絡主要依賴於電話、短信、微信以及因特網上即時通信等工具，能夠體現社交網絡關系的一手數據已經逐漸使得“六度空間”理論的驗證成為可能。

假如給你一個社交網絡圖，請你對每個節點計算符合“六度空間”理論的結點占結點總數的百分比。

輸入格式:

輸入第1行給出兩個正整數，分別表示社交網絡圖的結點數N（1 < N ≤ 10³ ​​ ，表示人數）、邊數M（≤ 33 × N，表示社交關系數）。隨后的M行對應M條邊，每行給出一對正整數，分別是該條邊直接連通的兩個結點的編號（節點從1到N編號）。

輸出格式:

對每個結點輸出與該結點距離不超過6的結點數占結點總數的百分比，精確到小數點后2位。每個結節點輸出一行，格式為“結點編號:（空格）百分比%”。

輸入樣例:

10 9
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10

輸出樣例:

1: 70.00%
2: 80.00%
3: 90.00%
4: 100.00%
5: 100.00%
6: 100.00%
7: 100.00%
8: 90.00%
9: 80.00%
10: 70.00%

 

解題思路

　　一開始以為這道題目很難，但想了一下找到了解題思路，發現其實還蠻簡單的。當時第一反應是用DFS，不過最后一個測試點沒過。后面在網上發現這道題不能夠用DFS，因為我們不是把整一個圖都遍歷一遍，而是只遍歷指定深度的點，這會導致一些在指定深度范圍內的點范圍不到，遍歷就結束了。下面來舉個例子：

　　但按照六度空間理論，這個例子中，按照路線1->3->5->6->7->8->9，頂點9也是可以訪問的。從這個例子可以看到DFS在本題中並不適用。如果要用DFS，就必須進行相應的修改。

　　所以后面我改用了BFS。和原本的BFS一樣，只不過我們需要添加一個遍歷深度不超過6的條件。不過有一個難點就是，怎么知道每層的最后一個點是哪個？因為我們只有找到每層的最后那個點，深度才可以+1。

　　當時我是這樣想的，設一個標識符“-1”，代表着如果從隊列中彈出“-1”就表明該層的頂點都已經訪問過了，深度需要+1，同時再把“-1”壓入隊列。

　　相應的代碼如下：

int BFS(LGraph *graph, int src) {
    bool vis[graph->verN] = {false};
    int depth = 0, cnt = 1; // 變量depth用來記錄遍歷的深度，cnt用來記錄從始點src開始一共可以遍歷得到的點的個數 
    std::queue<int> q;
    q.push(src);
    vis[src] = true;
    q.push(-1);             // 在把src壓入隊列后，再壓入"-1"，代表src是第0層的最后一個點 
    
    while (!q.empty() && depth < 6) {   // 循環條件為隊列不為空並且深度不超過6 
        int v = q.front();
        q.pop();
        if (v == -1) {      // 如果彈出的是"-1" 
            depth++;        // 深度+1 
            q.push(-1);     // 同時再把"-1"壓入隊列，在隊列中"-1"的前一個元素就是深度+1后那一層的最后一個點 
            continue; 
        }
        
        for (AdjVNode *w = graph->G[v]; w; w = w->next) {
            if (!vis[w->adjVer]) {
                q.push(w->adjVer);
                vis[w->adjVer] = true;
                cnt++;      // 每訪問一個新的點，cnt就要+1 
            }
        }
    }
    
    return cnt;
}

　　姥姥還給了另外一種思路，就是用一個變量來記錄每層最后的那個點。每次在把從隊列中彈出的點的鄰接的點壓入隊列后，判斷從隊列中彈出的點是否與記錄的那個點相同，如果相同就深度+1，同時在把那個變量更新記錄當前隊列的最后一個元素，而這個元素就是該層的最后那個點。

　　相應的代碼如下：

int BFS(LGraph *graph, int src) {
    bool vis[graph->verN] = {false};
    int depth = 0, last = src, cnt = 1; // last用來記錄某層的最后一個點，一開始第0層的最后一個點就是src 
    std::queue<int> q;
    q.push(src);
    vis[src] = true;
    
    while (!q.empty() && depth < 6) {   // 循環條件為隊列不為空並且深度不超過6
        int v = q.front();
        q.pop();
        for (AdjVNode *w = graph->G[v]; w; w = w->next) {
            if (!vis[w->adjVer]) {
                q.push(w->adjVer);
                vis[w->adjVer] = true;
                cnt++;
            }
        }
        if (v == last) {        // 當發現某個點與last記錄的點相同，說明該層的點都已經變量過了 
            depth++;            // 深度+1 
            last = q.back();    // 更新last，為隊列的最后一個元素，這個元素是該層的最后那個點 
        }
    }
    
    return cnt;
}

　　兩種版本的AC代碼如下：

#include <cstdio>
#include <queue>

struct AdjVNode {
    int adjVer;
    AdjVNode *next;
};

struct LGraph {
    AdjVNode **G;
    int verN, edgeN;
};

LGraph *createLGraph(int n, int m);
int BFS(LGraph *graph, int src);

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    LGraph *graph = createLGraph(n, m);
    
    for (int v = 0; v < graph->verN; v++) {
        int cnt = BFS(graph, v);
        printf("%d: %.2f%%\n", v + 1, 100.0 * cnt / graph->verN);
    }
    
    return 0;
}

LGraph *createLGraph(int n, int m) {
    LGraph *graph = new LGraph;
    graph->verN = n;
    graph->edgeN = m;
    graph->G = new AdjVNode*[graph->verN];
    for (int v = 0; v < graph->verN; v++) {
        graph->G[v] = NULL;
    }
    
    for (int i = 0; i < graph->edgeN; i++) {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &v, &w);
        AdjVNode *tmp = new AdjVNode;
        tmp->adjVer = w - 1;
        tmp->next = graph->G[v - 1];
        graph->G[v - 1] = tmp;
        
        tmp = new AdjVNode;
        tmp->adjVer = v - 1;
        tmp->next = graph->G[w - 1];
        graph->G[w - 1] = tmp;
    }
    
    return graph;
}

int BFS(LGraph *graph, int src) {
    bool vis[graph->verN] = {false};
    int depth = 0, last = src, cnt = 1;
    std::queue<int> q;
    q.push(src);
    vis[src] = true;
    
    while (!q.empty() && depth < 6) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        for (AdjVNode *w = graph->G[v]; w; w = w->next) {
            if (!vis[w->adjVer]) {
                q.push(w->adjVer);
                vis[w->adjVer] = true;
                cnt++;
            }
        }
        if (v == last) {
            depth++;
            last = q.back();
        }
    }
    
    return cnt;
}

#include <cstdio>
#include <queue>

struct AdjVNode {
    int adjVer;
    AdjVNode *next;
};

struct LGraph {
    AdjVNode **G;
    int verN, edgeN;
};

LGraph *createLGraph(int n, int m);
int BFS(LGraph *graph, int src);

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    LGraph *graph = createLGraph(n, m);
    
    for (int v = 0; v < graph->verN; v++) {
        int cnt = BFS(graph, v);
        printf("%d: %.2f%%\n", v + 1, 100.0 * cnt / graph->verN);
    }
    
    return 0;
}

LGraph *createLGraph(int n, int m) {
    LGraph *graph = new LGraph;
    graph->verN = n;
    graph->edgeN = m;
    graph->G = new AdjVNode*[graph->verN];
    for (int v = 0; v < graph->verN; v++) {
        graph->G[v] = NULL;
    }
    
    for (int i = 0; i < graph->edgeN; i++) {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &v, &w);
        AdjVNode *tmp = new AdjVNode;
        tmp->adjVer = w - 1;
        tmp->next = graph->G[v - 1];
        graph->G[v - 1] = tmp;
        
        tmp = new AdjVNode;
        tmp->adjVer = v - 1;
        tmp->next = graph->G[w - 1];
        graph->G[w - 1] = tmp;
    }
    
    return graph;
}

int BFS(LGraph *graph, int src) {
    bool vis[graph->verN] = {false};
    int depth = 0, cnt = 1;
    std::queue<int> q;
    q.push(src);
    vis[src] = true;
    q.push(-1);
    
    while (!q.empty() && depth < 6) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        if (v == -1) {
            depth++;
            q.push(-1);
            continue;
        }
        
        for (AdjVNode *w = graph->G[v]; w; w = w->next) {
            if (!vis[w->adjVer]) {
                q.push(w->adjVer);
                vis[w->adjVer] = true;
                cnt++;
            }
        }
    }
    
    return cnt;
}

 

參考資料

　　浙江大學——數據結構：https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001?tid=1461682474

　　[小白向]PTA 06-圖3 六度空間 (30分)DFS通過測試點4：https://blog.csdn.net/yine100320/article/details/107959177