計算機組成原理 - 第二章 - 運算方法和運算器

1 數據與文字的表示方法

主要分為兩種，定點數和浮點數。

1.1 定點數：

約定機器中所有數據的小數點位置是固定不變的。由於約定在固定的位置，小數點就不再用記號.表示。通常將定點數表示成純小數或純整數。

假設用n+1位字來表示一個定點數x，其中一位\(x_n\)用來表示數符，其余位數代表量值。為了將n+1位統一處理，符號位\(x_n\)放最左側位置，用0和1分別表示正號和負號。

如果數x表示純小數，其小數點位於\(x_n\)和\(x_{n-1}\)之間。

\[x_n |. x_{n-1}x_{n-2}...x_1x_0 \]

如果數x表示純整數，其小數點位於\(x_0\)之后

\[x_n|x_{n-1}x_{n-2}...x_1x_0. \]

下面來分析定點數的數值范圍：

應該將數符與尾數分開看。尾數表示該數的絕對值大小，尾數最大即全1，最小即全0。當數符為0時，為正數；數符為1時，為負數。

對於定點整數：$ 0 \leq |x| \leq 2^n-1$

對於定點小數：\(0 \leq |x| \leq 1-2^{-n}\)

1.2 浮點數：

浮點表示法，實際上是采用類似於科學計數法的形式來表示數字的一種方法，一個數\(N\)可以寫作\(N = 2^e .M\)。在計算機中，一個機器浮點數由階碼和尾數及其符號位組成：

\[E_s | E_{m-1}...E_{1}E_0 | M_s | M_{n-1}...M_1M_0 \]

其中：

• \(E_s\)表示階符
• \(E_{m-1}~E_0\)表示階碼
• \(M_s\)表示數符
• \(M_{n-1}...M_0\)表示尾數

1.3 數的機器碼表示

• 原碼：正數\(x_{原} = x\) ，負數\(x_{原} = 2^n + |x|\)（即符號位為1）
• 反碼：正數\(x_反=x\)，負數\(x_{反} = x_{原}\)符號位不變，其余按位取反
• 補碼：正數\(x_補 = x\)，負數\(x_補 = x_反\)+1

1.4 浮點數的機器表示

當前的計算機都采用統一的IEEE754標准中的格式表示浮點數。IEEE754標准規定的32位短浮點數和64位長浮點數的標准格式為：

• 32位短浮點數：

  

  若不對浮點數的表示做出明確規定，同一個浮點數的表示就不是唯一的，為了提高數據的表示精度，當尾數的值不為0時，尾數域的最高有效位應為1，這稱為浮點數的規格化表示。

  在IEEE754標准中，一個規格化32位浮點數x的真值表示為

  \[x = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{E-127} \]

  此外，IEEE754還有一些特殊定義：

  • 若E=255且M<>0，則N = NaN
  • 若E=255且M=0，則N=\((-1)^S\infin\)
  • 若E=0且M=0，則N=\((-1)^S0\)
  • 若0<E<255，則N為規格化數
  • 若E=0且M<>0，則N=\((-1)^S\times(0.M)\times 2^{E-1023}\) 非規格化數

1.5 補碼運算

• 補碼加法：

  ​ 加法的公式：\([x]_{補}+[y]_{補}=[x+y]_補\)

  1. 符號位要作為數的一部分一起參與運算
  2. 超過符號位的進位要丟掉

• 補碼減法：

  ​ 減法的公式：\([x]_{補}-[y]_{補}=[x]_補+[-y]_補\)

  ​ 由\([y]_{補}\)求\([-y]_{補}\)的法則是：對\([y]_{補}\)包括符號位按位取反再+1

1.6 溢出

分為上溢（運算結果大於最大正數）和下溢（運算結果小於最小負數）

溢出判別法:

• 進位判別法：判斷最高位的進位和符號位的進位是否相同。（即，如果符號位一開始全為0，那么最高位就不得進位；如果符號位一開始全為1，那么最高位就應該進位）
• 采用變形補碼，即符號位為兩位，正數為00，負數為11，如果運算后得到01或10則發生溢出。

2 運算器設計

2.1 加法器

一位全加器：

\[S_i = A_i \oplus B_i \oplus C_i\\ C_{i+1} = A_iB_i + (A_i \oplus B_i) C_i \]

延遲運算: 與門、或門 1T；異或門3T

行波進位的補碼加法/減法器

這里簡單分析一下：當M=0時，B數各位經過0異或保持原數B不變，最低位進位為0，結果就是A與B相加；當M=1時，B數各位經過1異或取反，再結合最低位的進位1，結果就是A+(-B)= A-B。

2.2 定點乘法

在定點計算機中，兩個原碼表示的數相乘的運算規則是：乘積的符號位由兩數的符號位按異或運算得到，而乘積的數值部分則是兩個正數相乘之積。

介於串行乘法器已經被淘汰，下面只介紹並行乘法器。並行乘法器的關鍵是快速產生n*n個位積，然后對位積進行相加運算產生n+n-1個列和。

並行乘法器第一步是並行計算n*n個位積，為此需要n*n個與門；第二步是利用n*(n-1)個全加器計算列和。

2.2.1 間接補碼乘法運算

由於在計算機內數據是以補碼形式存在，必須考慮補碼乘法運算中由補碼、原碼之間簡便的互換運算

由補碼直接求原碼的運算：

正數的補碼不變，負數的補碼等於從右邊開始遇到的第一個真值的1以后除了符號位以外1變0，0變1。

求補電路的思想：

如果符號位是0，數據不變

如果符號位是1，則符號位保持不變，數據位從lowbit(x)左邊除符號位以外全部求反。

串聯的或門陸續接受來自低位的數字和上一次的或門輸出，一旦某一次低位數字為1，這一次的或門輸出及后續的或門輸出均為1。每一級的或門輸出都會與使能端E相與，當使能端E=1時，簡化為直接由或門輸出控制。與門輸出接異或門，當或門為1，E=1時，異或門發揮求反功能。當使能端為0時，各級異或門均為0，不發揮求反功能，即各位均保持不變。因此，可以將使能端接數的符號位。

間接補碼乘法器，即先將兩個數經過算前求補器轉化為原碼，然后經過乘法器，再將結果經過算后求補器轉化為補碼。

2.2.2 直接補碼乘法運算

根據這一特點，我們可以設計輸入帶有負權的加法器，用來構造直接補碼並行乘法器。根據帶有負權的輸入端數量，可以分為0，1，2，3四類加法器。用混合加法器構造出的並行乘法器如下圖：

3 浮點運算方法和浮點運算器

浮點數的加減法運算分為六個步驟：

• 0操作數檢查

  兩個操作數中有一個為0，則無需運算

• 比較階碼大小並完成對階

  兩個浮點數進行加減，首先要看兩數的階碼是否相同。如果兩數階碼不同，表示小數點位置沒有對齊，此時必須使二數階碼相同，這個過程稱為對階。對階操作規定使尾數右移，尾數右移后階碼作相應的增加；因此，對階時總是小階向大階看齊。

• 尾數加減運算

  與定點運算一致

• 結果規格化

  分為左規和右規。這是根據尾數左移和右移來區分的。

• 舍入處理

  在對階向右規格化，尾數向右移位，這樣被右移的尾數的低位部分會被丟掉，從而造成一定誤差，要進行舍入處理。

• 判斷結果是否溢出

4 總結