浮點數——計算機組成原理筆記
一、浮點數簡介
浮點數是計算機中的一個數值型數據；與之相對應的概念是定點數；本篇筆記建議配合《計算機組成原理——面向實踐培養》食用~
首先我們來介紹原理性的浮點數格式
在這個圖中，主要分為兩部分，一個是包含階符的階碼，另一個是包含數符的尾數；在二進制中，真值和浮點數的對應關系如下：
也就是，浮點數的值等於系數和一個指數的乘積，這個指數的冪就是階碼所表示的值，系數就是尾數所表示的值，這里相當於是一個科學計數法
在九年義務教育中我們知道，一個科學計數法可以寫成很多種不同的形式，為了方便我們處理，我們會把它統一成一個形式，這個過程就叫做規范化，為了方便我們接下來介紹和理解浮點數，在這里告訴大家，這個式子中的M也就是尾數，是一個純小數（絕對值小於等於1）
計算機中機器數的運算通常使用補碼，所以有時候我們的浮點數的階碼和尾數會采用補碼表示（還有用移碼表示的，后面會介紹移碼的計算方法）
經過了感性的認識，接下來我們將會舉例說明一個浮點數和其真值之間的細節
二、一個浮點數實例
假設這里有一個浮點數，階碼使用補碼表示，共8位，包含1位階符；尾數也使用補碼表示，同為8位，包含一位數符；下面，首先我們來探索這個浮點數的典型值，我們很容易想到有四種典型值：最小負數，最大正數，最小正數，最大負數；
首先我們來看最簡單的情況，最大正數，要完整分析浮點數，我們應該了解這個浮點數的機器數表示和真值表示；回想一下我們所提到的科學計數法不難想到，想要得到最大正數，我們應該使階碼為最大的正直，且尾數為最大的正小數，(馬上就會提到規范化問題)
首先我們來看階碼，階碼是用補碼表示的，拋去最高的符號位，我們有7位用來表示“數值”（簡單理解下）那么很容易想到，最大的數應該是7位全取1，第一位取0（原碼），此時階碼的真值為 \(2^7\) ,而我們的階碼是是用補碼表示的，轉換為補碼之后仍為01111111（7個1）
緊接着是尾數，最大的尾數原碼表示的話應該是0.1111111，轉化成補碼，仍然為0.1111111，也就是說，最大的正數結果如下：
（此式中n=7）上面說了，為了使結果唯一，我們要進行規范化，我把規范化相關的內容放在最后一張圖片上了，這里規范化的結果就是上面的結果
最大負數：
思路和上面的一樣，首先我們來看階碼，很容易想到階碼應該仍保持最大值，也就是\(2^n\),現在我們來找，絕對值最大的、負的尾數，這里又涉及到原碼補碼的區別和聯系，我們這個浮點數是使用補碼來表示的，我們找的時候就應該找，我們所能表示的補碼中，最小的負數，那么是不是我們可以先寫出原碼，然后轉化成補碼呢？在這里不可以，因為補碼和原碼所能表示的范圍是不一樣的，請牢記下圖：
我們看到因為原碼有兩個零，所以表示原碼能夠表示的最小負數，比補碼能表示的最小負數大，放到純小數也一樣，那么我們這里尾數的取值就很好理解了，他就是1.0···00；最后我們得到的結果為
最小正數
階碼需要取最小值，也就是負的絕對值最大的值，因為同樣是使用補碼表示，所以根據上面那個圖，我們得到階碼為10000000；尾數為正的最小值，也就是0.0000001；轉化成補碼仍為0.0000001，但是，這個不滿足規范化，請查看下面關於規范化的描述；所以我們得到的規范化的最小正尾數，應該是0.1000000（即1/2），最終結果為：
最大負數
最大負數就是絕對值最小的負數，通最小正數一樣，階碼為10000000，現在我們尋找：絕對值最小的、負的，尾數，根據我們求最小正數時的思路，他應該是1.0000001的補碼，但是這個值的真值並不滿足規范化，查看規范化的要求之后我們發現，我們所求的尾數，應該是1.1000001，他的補碼是1.0111111；
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尾數的規范化：
在《計算機組成原理——面向實踐培養》一書中有這樣一句話：“若浮點數用補碼表示，此時規格化尾數的符號位與最高有效位剛好相反”，那么為什么相反，實際上涉及到補碼的知識，需要對補碼有較為熟悉的了解才行，只知道概念是不夠的
三、總結
本身尋找典型值不難，科學計數法大家也都好理解，比較令人感到陌生的是補碼的，和補碼的規范化形式；首先我們應該知道補碼和原碼所能表示的真值范圍是不一樣的，也就是絕對值最大的那個負值，第二個就是關於規范化，記住上面四種情況，對應着求就行了
四、IEEE754
我把書上的內容直接借鑒過來了，因為感覺比較好理解，也不需要額外強調什么點
本篇到此結束，如果發現有不對的地方請及時指出，感謝🙇