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由於不同機器所選用的基數、尾數位長度和階碼位長度不同，因此對浮點數的表示有較大差別，這不利於軟件在不同計算機之間的移植。為此，美國IEEE（電器及電子工程師協會）提出了一個從系統角度支持浮點數的表示方法，稱為IEEE754標准（IEEE，1985），當今流行的計算機幾乎都采用了這一標准。
Java中浮點數，既float和double，都是采用的IEEE754標准。無論在java python javaScript里面都存在 1 + 2 != 3 問題，這個問題的產生根源在於計算存儲數字是二進制，對無限循環小數和無理數采用雙精度64位double浮點數_float為32位,即52位小數+11位指數+1位符號。超過52位小數溢出而產生精度丟失。
例如在 chrome js console 中：
// 加法
0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004
0.1 + 0.7 = 0.7999999999999999
0.2 + 0.4 = 0.6000000000000001
// 減法
0.3 - 0.2 = 0.09999999999999998
1.5 - 1.2 = 0.30000000000000004
// 乘法
0.8 * 3 = 2.4000000000000004
19.9 * 100 = 1989.9999999999998
// 除法
0.3 / 0.1 = 2.9999999999999996
0.69 / 10 = 0.06899999999999999
// 比較
0.1 + 0.2 === 0.3 // false
(0.3 - 0.2) === (0.2 - 0.1) // false
這個問題並不只是在Javascript中才會出現，任何使用二進制浮點數的編程語言都會有這個問題，只不過在 C++/C#/Java 這些語言中已經封裝好了方法來避免精度的問題，而 JavaScript 是一門弱類型的語言，從設計思想上就沒有對浮點數有個嚴格的數據類型，所以精度誤差的問題就顯得格外突出。
浮點數丟失產生原因
JavaScript 中的數字類型只有 Number 一種，Number 類型采用 IEEE754 標准中的 “雙精度浮點數” 來表示一個數字，不區分整數和浮點數。
什么是IEEE-745浮點數表示法
IEEE-745浮點數表示法是一種可以精確地表示分數的二進制示法，比如1/2，1/8，1/1024
十進制小數如何表示為轉為二進制
十進制整數轉二進制
十進制整數換成二進制一般都會：1=>1 2=>10 3=>101 4=>100 5=>101 6=>110
6/2=3…0
3/2=1…1
1/2=0…1
倒過來就是110
十進制小數轉二進制
0.25的二進制
0.25*2=0.5 取整是0
0.5*2=1.0 取整是1
即0.25的二進制為 0.01 ( 第一次所得到為最高位,最后一次得到為最低位)
0.8125的二進制
0.8125*2=1.625 取整是1
0.625*2=1.25 取整是1
0.25*2=0.5 取整是0
0.5*2=1.0 取整是1
即0.8125的二進制是0.1101（第一次所得到為最高位,最后一次得到為最低位）
0.1的二進制
0.1*2=0.2======取出整數部分0
0.2*2=0.4======取出整數部分0
0.4*2=0.8======取出整數部分0
0.8*2=1.6======取出整數部分1
0.6*2=1.2======取出整數部分1
0.2*2=0.4======取出整數部分0
0.4*2=0.8======取出整數部分0
0.8*2=1.6======取出整數部分1
0.6*2=1.2======取出整數部分1
接下來會無限循環
0.2*2=0.4======取出整數部分0
0.4*2=0.8======取出整數部分0
0.8*2=1.6======取出整數部分1
0.6*2=1.2======取出整數部分1
所以0.1轉化成二進制是：0.0001 1001 1001 1001…（無限循環）
0.1 => 0.0001 1001 1001 1001…（無限循環）
同理0.2的二進制是0.0011 0011 0011 0011…（無限循環）
科普科學計數法
科學記數法是一種把一個數表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤a<10，n為整數）的記數法。
例如：19971400000000=1.99714×10^13。計算器或電腦表達10的冪是一般是用E或e，也就是1.99714E13=19971400000000。
科學記數法的形式是由兩個數的乘積組成的。表示為a×10^b（aEb），其中一個因數為a（1≤|a|<10），另一個因數為10^n。
科學計數法的精確度
運用科學記數法a×10^n的數字，它的精確度以a的最后一個數在原數中的數位為准。
13600，精確到十位，記作：1.360X10^4
13600 ，精確到百位，記作：1.36X10^4
13600，精確到千位，記作：1.3X10^4
十進制的5.0，寫成二進制是101.0，相當於1.01×2^2
十進制的-5.0，寫成二進制是-101.0，相當於-1.01×2^2，推薦閱讀《浮點數的二進制表示 》
在二進制里面，即a×2^b，1≤a<2，也就是說，a可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在計算機內部保存a時，默認這個數的第一位總是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以64位浮點數為例，留給a只有52位，將第一位的1舍去以后，等於可以保存53位有效數字
所以js浮點數表示的數字為[-1*2^53*2^1023,1*2^53*2^1024] ,±1 為符號位，2^53 為小數位(53-1)， 2^1024 1024位指數位(1024*2=2048=2^11為指數位)
IEEE-745浮點數表示法存儲結構
在 IEEE754 中，雙精度浮點數采用 64 位存儲，即 8 個字節表示一個浮點數 。其存儲結構如下圖所示：
指數位可以通過下面的方法轉換為使用的指數值：
IEEE-745浮點數表示法記錄數值范圍
從存儲結構中可以看出， 指數部分的長度是11個二進制，即指數部分能表示的最大值是 2047（2^11-1）
取中間值進行偏移，用來表示負指數，也就是說指數的范圍是 [-1023,1024]
因此，這種存儲結構能夠表示的數值范圍為 2^1024 到 2^-1023 ，超出這個范圍的數無法表示 。2^1024 和 2^-1023 轉換為科學計數法如下所示：
1.7976931348623157 × 10^308
5 × 10^-324
因此，JavaScript 中能表示的最大值是 1.7976931348623157 × 10^308，最小值為 5 × 10-324 。java雙精度類型 double也是如此。
這兩個邊界值可以分別通過訪問 Number 對象的 MAX_VALUE 屬性和 MIN_VALUE 屬性來獲取：
Number.MAX_VALUE; // 1.7976931348623157e+308
Number.MIN_VALUE; // 5e-324
如果數字超過最大值或最小值，JavaScript 將返回一個不正確的值，這稱為 “正向溢出(overflow)” 或 “負向溢出(underflow)” 。
Number.MAX_VALUE+1 == Number.MAX_VALUE; //true
Number.MAX_VALUE+1e292; //Infinity
Number.MIN_VALUE + 1; //1
Number.MIN_VALUE - 3e-324; //0
Number.MIN_VALUE - 2e-324; //5e-324
IEEE-745浮點數表示法數值精度
在 64 位的二進制中，符號位決定了一個數的正負，指數部分決定了數值的大小，小數部分決定了數值的精度。
IEEE754 規定，有效數字第一位默認總是1 。因此，在表示精度的位數前面，還存在一個 “隱藏位” ，固定為 1 ，但它不保存在 64 位浮點數之中。也就是說，有效數字總是 1.xx...xx 的形式，其中 xx..xx 的部分保存在 64 位浮點數之中，最長為52位 。所以，JavaScript 提供的有效數字最長為 53 個二進制位，其內部實際的表現形式為：
(-1)^符號位 * 1.xx...xx * 2^指數位
這意味着，JavaScript 能表示並進行精確算術運算的整數范圍為：[-2^53-1，2^53-1]，即從最小值 -9007199254740991 到最大值 9007199254740991 之間的范圍 。
Math.pow(2, 53)-1 ; // 9007199254740991
-Math.pow(2, 53)-1 ; // -9007199254740991
可以通過 Number.MAX_SAFE_INTEGER 和 Number.MIN_SAFE_INTEGER 來分別獲取這個最大值和最小值。
console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER) ; // 9007199254740991
console.log(Number.MIN_SAFE_INTEGER) ; // -9007199254740991
對於超過這個范圍的整數，JavaScript 依舊可以進行運算，但卻不保證運算結果的精度。
Math.pow(2, 53) ; // 9007199254740992
Math.pow(2, 53) + 1; // 9007199254740992
9007199254740993; //9007199254740992
90071992547409921; //90071992547409920
0.923456789012345678;//0.9234567890123456
IEEE-745浮點數表示法數值精度丟失
計算機中的數字都是以二進制存儲的，二進制浮點數表示法並不能精確的表示類似0.1這樣 的簡單的數字
如果要計算 0.1 + 0.2 的結果，計算機會先把 0.1 和 0.2 分別轉化成二進制，然后相加，最后再把相加得到的結果轉為十進制
但有一些浮點數在轉化為二進制時，會出現無限循環 。比如， 十進制的 0.1 轉化為二進制，會得到如下結果：
0.1 => 0.0001 1001 1001 1001…（無限循環）
0.2 => 0.0011 0011 0011 0011…（無限循環）
而存儲結構中的尾數部分最多只能表示 53 位。為了能表示 0.1，只能模仿十進制進行四舍五入了，但二進制只有 0 和 1 ， 於是變為 0 舍 1 入 。 因此，0.1 在計算機里的二進制表示形式如下：
0.1 => 0.0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 101
0.2 => 0.0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 001
用標准計數法表示如下：
0.1 => (−1)0 × 2^4 × (1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010)2
0.2 => (−1)0 × 2^3 × (1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010)2
在計算浮點數相加時，需要先進行 “對位”，將較小的指數化為較大的指數，並將小數部分相應右移：
最終，“0.1 + 0.2” 在計算機里的計算過程如下：
經過上面的計算過程，0.1 + 0.2 得到的結果也可以表示為：
(−1)0 × 2−2 × (1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)2=>.0.30000000000000004
通過 JS 將這個二進制結果轉化為十進制表示：
(-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52); //0.30000000000000004
console.log(0.1 + 0.2) ; // 0.30000000000000004
這是一個典型的精度丟失案例，從上面的計算過程可以看出，0.1 和 0.2 在轉換為二進制時就發生了一次精度丟失，而對於計算后的二進制又有一次精度丟失 。因此，得到的結果是不准確的。
幾乎所有的編程語言浮點數都是都采用IEEE浮點數算術標准
在C或者java里面，double是64位浮點數，float 是32 浮點數: 1bit符號 8bit指數部分 23bit尾數。推薦閱讀《JAVA 浮點數的范圍和精度》
long與double在java中本身都是用64位存儲的,但是他們的存儲方式不同，導致double可儲存的范圍比long大很多
long可以准確存儲19位數字，而double只能准備存儲16位數字（實際測試，是17位，）。double由於有exp位，可以存16位以上的數字，但是需要以低位的不精確作為代價。如果一個大於17位的long型數字存到double上，就會丟失數字末尾的精度
如果需要高於19位數字的精確存儲，則必須用BigInteger來保存，當然會犧牲一些性能。
java 基本數據類型
基本類型存儲需求位數bit數取值范圍取值范圍
byte1byte8bit1*8(8)-2^7~2^7-1-128~127
short2byte16bit2*8(16)-2^15~2^15-1-32768~32767
int4byte32bit4*8(32)-2^31~2^31-1-2147483648~2147483647
long8byte64bit8*8(64)-2^63~2^63-1=-9223372036854775808~9223372036854775807
float4byte32bit4*8(32)3.4028235E38~1.4E-453.4028235*10^38~1.4*10^-45
double8byte64bit8*8(64)-2^1023~2^10241.7976931348623157*10^308~4.9*10^-324
char2byte16bit2*8(16)2^16 - 1unicode編碼范圍
java中char類型占2個字節、16位可以存放漢子，字母和數字占一個字節，一個字節8位，中文占2個字節，16位。
在表中，long最大為=2^63-1，而double為2^1024，
java中int和float都是32位，long和double都是64位。為什么float和double表示的范圍大那么多呢？因為double采用IEEE-745浮點數表示法
double是n*2^m(n乘以2的m次方)這種形式存儲的，只需要記錄n和m兩個數就行了，m的值影響范圍大，所以表示的范圍比long大。
但是m越大，n的精度就越小，所以double並不能把它所表示的范圍里的所有數都能精確表示出來，而long就可以。
float浮點數，小數點后第7位是部分准確的。例如，1.0000004就是1.00000035通過得到的，其實際保存和1.0000003相同。1.0000006也是通過舍入得到的。再往前第6位及以后均可以通過小數准確表示出來。通常說float數據的有效位是6~7位，也是這個原因。一般來說，無論是整數或者小數，用float表示時，從左邊第一個非0的數字算起，從高到低的7位是准確的。此后的數位是不能保證精確的。
double雙精度浮點數小數部分有52位，和上面類似，最低6位(2^-52,2^-51,......)表示的規格化小數如下所示。從圖中可以看出，雙精度浮點數能准確表示到小數點后第15位，第16位部分准確。用double表示時，從左邊第一個非0的數字起，從高到低的16位是准確的，此后的數位不一定精確
盡管浮點數表示的范圍很廣，但由於精度損失的存在，加上冪次的放大作用，一個浮點數實際上是表示了周圍的一個有理數區間。如果將浮點數繪制到一個數軸上，直觀上看，靠近0的部分，浮點數出現較密集。越靠近無窮大，浮點數分布越稀疏，一個浮點值代表了周圍一片數據。如下圖所示。從這個意義上來說，浮點數不宜直接比較相等，它們是代表了一個數據范圍。實際應用中，如果要使用浮點數計算，一定要考慮精度問題。在滿足精度要求的前提下，計算結果才是有效的。
在計算精度要求情形下，例如商業計算等，應該避免使用浮點數，嚴格采取高精度計算。
浮點數丟失解決方案
我們常用的分數（特別是在金融的計算方面）都是十進制分數1/10，1/100等。或許以后電路設計或許會支持十進制數字類型以避免這些舍入問題。在這之前，你更願意使用大整數進行重要的金融計算，例如，要使用整數‘分’而不是使用小數‘元’進行貨比單位的運算
即在運算前我們把參加運算的數先升級(10的X的次方)到整數，等運算完后再降級(0.1的X的次方)。
在java里面有BigDecimal庫，js里面有big.jsjs-big-decimal.js。當然BCD編碼就是為了十進制高精度運算量制。
BCD編碼
BCD編碼(一般指8421BCD碼形式)亦稱二進碼十進數或二-十進制代碼。用4位二進制數來表示1位十進制數中的0~9這10個數。一般用於高精度計算。比如會計制度經常需要對很長的數字串作准確的計算。相對於一般的浮點式記數法，采用BCD碼，既可保存數值的精確度，又可免去使電腦作浮點運算時所耗費的時間。
為什么采用二進制
二進制在電路設計中物理上更易實現，因為電子器件大多具有兩種穩定狀態，比如晶體管的導通和截止，電壓的高和低，磁性的有和無等。而找到一個具有十個穩定狀態的電子器件是很困難的。
二進制規則簡單，十進制有55種求和與求積的運算規則，二進制僅有各有3種，這樣可以簡化運算器等物理器件的設計。另外，計算機的部件狀態少，可以增強整個系統的穩定性。
與邏輯量相吻合。二進制數0和1正好與邏輯量“真”和“假”相對應，因此用二進制數表示二值邏輯顯得十分自然。
可靠性高。二進制中只使用0和1兩個數字，傳輸和處理時不易出錯，因而可以保障計算機具有很高的可靠性
我覺得主要還是因為第一條。如果比如能夠設計出十進制的元器件，那么對於設計其運算器也不再話下。
JS數字精度丟失的一些典型問題
兩個簡單的浮點數相加
0.1 + 0.2 != 0.3 // true
toFixed 不會四舍五入（Chrome）
1.335.toFixed(2) // 1.33
再問問一個問題 ：在js數字類型中浮點數的最高精度多少位小數？（16位 or 17位？……why？
JavaScript 能表示並進行精確算術運算的整數范圍為：[-2^53-1，2^53-1]，即從最小值 -9007199254740991 到最大值 9007199254740991 之間的范圍。'9007199254740991'.length//16
IEEE754 規定，有效數字第一位默認總是1 。因此，在表示精度的位數前面，還存在一個 “隱藏位” ，固定為 1 ，但它不保存在 64 位浮點數之中。也就是說，有效數字總是 1.xx...xx 的形式，其中 xx..xx 的部分保存在 64 位浮點數之中，最長為52位 。所以，JavaScript 提供的有效數字最長為 53 個二進制位
let a=1/3
a.toString();//"0.3333333333333333"
a.toString();.length//18
a*3===0.3333333333333333*3===1
0.3333333333333332*3!==1
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作者：ksfkf
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