AGC052B Tree Edges XOR Editorial（思維題）

題目：AGC052B

題目描述：

給你一棵\(n\)個點、\(n-1\)條邊的樹，樹上每條邊的邊權\(w_{i}^{1}\)和期望邊權\(w_{i}^{2}\)均已知（\(w_{i}^{2}\)不是\(w_{i}^{1}\)平方的意思），你可以進行以下操作

• 選擇一條邊\((a,b)\)，記這條邊現在的權值為\(w\)，那么與這條邊相鄰的所有邊，即所有的\((a,x)\)和\((b,y)\)（邊\((a,b)\)不算）的邊權值都會異或上\(w\)

你可以進行任意次數操作，問是否存在合法的操作使得所有的邊權\(w_{i}^{1}\)都變為它對應的期望邊權\(w_{i}^{2}\)

\(n \leq 10^{5}\) 且 \(n\) 為奇數， \(0 \leq w_{i}^{1},w_{i}^{2} < 2^{30}\)

蒟蒻題解

我真的是太菜了，一場比賽就打了一個第一題，第二題就不會了

定義\(d_{u,v}\)表示\(u\)到\(v\)的簡單路徑上所有邊的權值的異或和（這個想法是我之前沒怎么接觸到的），\(f_{u,v}\)表示\(u\)到\(v\)的簡單路徑上所有邊的期望權值的異或和

當對邊\((a,b)\)進行操作時

• 若\(u \neq a\)且\(u \neq b\)，則\(d_{u,a}\)的值和\(d_{u,b}\)的值會進行交換
• 若\(u = a\)或\(u = b\)，假設\(u = a\)，記\((u,b)\)這條邊的權值為\(w\)，則對於任意點\(v\)，\(d_{u,v}\)都會異或上\(w\)

假設對以點\(u\)為端點的所有邊的操作異或起來記為\(W\)，那么如果答案有解，那么對於任意點\(a\)，一定存在\(d_{u,a} \bigoplus W = f_{u,b}\)，且\(a\)和\(b\)兩兩配對

如果存在滿足條件的\(W\)，由於\(n\)是奇數，所有易得\(W = d_{u,1} \bigoplus d_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus d_{u,n} \bigoplus f_{u,1} \bigoplus f_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus f_{u,n}\)

那么題目可以轉換為：是否存在合法操作，使得對於任意點\(u\)，以\(u\)為端點的邊的操作異或能構成\(W\)，且\(d_{u,a} \bigoplus W\)和\(f_{u,b}\)兩兩對應相等

假設對於一個點\(u\)，想要判斷是否存在操作能來構成\(W\)不太好做，我們可以先看看后面的要求：要滿足\(d_{u,a} \bigoplus W\)和\(f_{u,b}\)兩兩對應相等

由於我們已知\(W = d_{u,1} \bigoplus d_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus d_{u,n} \bigoplus f_{u,1} \bigoplus f_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus f_{u,n}\)，那么\(d_{u,a} \bigoplus W = f_{u,b}\)就相當於\(d_{u,a} \bigoplus W \bigoplus f_{u,b} = 0\)，即將構成\(W\)的一系列異或值去掉\(d_{u,a}\)和\(f_{u,b}\)，其他值異或起來為\(0\)，也就是說\(d_{u,1} \bigoplus d_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus d_{u,a-1} \bigoplus d_{u,a+1} \bigoplus ··· \bigoplus d_{u,n} = f_{u,1} \bigoplus f_{u,2} \bigoplus ··· \bigoplus f_{u,b-1} \bigoplus f_{u,b+1} \bigoplus ··· \bigoplus f_{u,n}\)，也就是說，我們能用若干\(d_{u,x}\)去表示\(f_{u,y}\)，原本構成\(W\)需要\(d\)和\(f\)，可以全部轉換成\(d\)的形式，所以如果滿足\(d_{u,a} \bigoplus W\)和\(f_{u,b}\)兩兩對應相等，那么\(W\)也能被構建出來

但是一共有\(n\)個點，每個點都去判斷一次，單次判斷復雜度是\(\Theta(nlog\ n)\)，總的復雜度是\(\Theta(n^{2}log\ n)\)的

不妨去試一下，一個點成立，能否推廣到其他點也成立

若\(u\)滿足條件，那么假設\(v\)與\(u\)有連邊，這條邊的初始權值為\(w ^ {1}\)，期望權值為\(w ^{2}\)，那么\(d_{v,a} = d_{u,a} \bigoplus w ^ {1}\)，\(f_{v,a} = f_{u,a} \bigoplus w ^ {2}\)，\(W_{v} = W_{u} \bigoplus w ^ {1} \bigoplus w ^ {2}\)，假設原本存在\(d_{u,a} \bigoplus W_{u} = f_{u,b}\)，那么現在\(d_{v,a} \bigoplus W_{v} = f_{v,b}\)也同樣成立

總結：對於節點\(u\)，判斷是否存在\(d_{u,a} \bigoplus W\)和\(f_{u,b}\)兩兩對應相等，時間復雜度是\(\Theta(nlog\ n)\)

參考程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Re register int

const int N = 100005;
int n, cnt, s, val1[N], val2[N], hea[N], nxt[N << 1], to[N << 1], wi1[N << 1], wi2[N << 1];

inline int read()
{
	char c = getchar();
	int ans = 0;
	while (c < 48 || c > 57) c = getchar();
	while (c >= 48 && c <= 57) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return ans;
}

inline void add(int x, int y, int z1, int z2)
{
	nxt[++cnt] = hea[x], to[cnt] = y, wi1[cnt] = z1, wi2[cnt] = z2, hea[x] = cnt;
}

inline void dfs(int x, int y)
{
	for (Re i = hea[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int u = to[i];
		if (u == y) continue;
		val1[u] = val1[x] ^ wi1[i], val2[u] = val2[x] ^ wi2[i];
		dfs(u, x);
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for (Re i = 1; i < n; ++i)
	{
		int u = read(), v = read(), w1 = read(), w2 = read();
		add(u, v, w1, w2), add(v, u, w1, w2);
	}
	dfs(1, 0);
	for (Re i = 1; i <= n; ++i) s ^= val1[i] ^ val2[i];
	for (Re i = 1; i <= n; ++i) val1[i] ^= s;
	sort(val1 + 1, val1 + n + 1), sort(val2 + 1, val2 + n + 1);
	for (Re i = 1; i <= n; ++i)
		if (val1[i] ^ val2[i])
		{
			puts("NO");
			return 0;
		}
	puts("YES");
	return 0;
}