什么是P問題、NP問題和NPC問題

來源：Matrix67

什么是時間復雜度？

關鍵字：多項式級復雜度

時間復雜度並不是表示一個程序解決問題需要花多少時間，而是當問題規模擴大后，程序需要的時間長度增長得有多快。也就是說，對於高速處理數據的計算機來說，處理某一個特定數據的效率不能衡量一個程序的好壞，而應該看當這個數據的規模變大到數百倍后，程序運行時間是否還是一樣，或者也跟着慢了數百倍，或者變慢了數萬倍。

不管數據有多大，程序處理花的時間始終是那么多的，我們就說這個程序很好，具有O(1)的時間復雜度，也稱常數級復雜度；

數據規模變得有多大，花的時間也跟着變得有多長，這個程序的時間復雜度就是O(n)，比如找n個數中的最大值；

而像冒泡排序、插入排序等，數據擴大2倍，時間變慢4倍的，屬於O(n²)的復雜度。

還有一些窮舉類的算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是O(aⁿ)的指數級復雜度，甚至O(n!)的階乘級復雜度。

不會存在O(2*n²)的復雜度，因為前面的那個“2”是系數，根本不會影響到整個程序的時間增長。同樣地，O (n³+n²)的復雜度也就是O(n³)的復雜度。因此，我們會說，一個O(0.01*n³)的程序的效率比O(100*n²)的效率低，盡管在n很小的時候，前者優於后者，但后者時間隨數據規模增長得慢，最終O(n^3)的復雜度將遠遠超過O(n^2)。我們也說，O(n^100)的復雜度小於O(1.01^n)的復雜度。

容易看出，前面的幾類復雜度被分為兩種級別，其中后者的復雜度無論如何都遠遠大於前者：

一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做多項式級的復雜度，因為它的規模n出現在底數的位置；

另一種是O(aⁿ)和O(n!)型復雜度，它是非多項式級的，其復雜度計算機往往不能承受。

當我們在解決一個問題時，我們選擇的算法通常都需要是多項式級的復雜度，非多項式級的復雜度需要的時間太多，往往會超時，除非是數據規模非常小。

多項式時間

來源：沈萬馬

什么是多項式？

 對於變量n，5n²+2n+1這種就叫做多項式。前面再加上n³甚至一路增加到n^m，只要m是個常量，就都是多項式。因為這樣的式子合並同類項什么的簡化到最后還是會有好幾個含n的項，所以叫做多項式。

什么是問題大小？

我們要解決一個問題，這個問題里面有n個“東西”要處理，這個問題的大小就是n。比方說，我們要把5、7、9這三個數字排序，問題大小就是3。我們要把全世界人類里面的男的找出來，問題大小就是全世界人口數。

什么是多項式倍數？

這個倍數是指，對於一個變量n，有這樣一個倍數，它的值是n的一個多項式。比方說，我們假設n=5，那么n²+10=5²+10=35，這個35就是n的一個多項式倍數。因為對於n有無限多種多項式組合，所以它也就有無窮多個多項式倍數。

多項式時間

多項式倍數之所以特殊，主要是由於其值隨n增大而加速增大的特性。如果是常數時間的話，意思就是無論n是什么值運算所花時間都一樣。線性時間則是說多大n就花多少時間。多項式時間則意味着隨着n增大，n每增加1所花的時間增長越來越多。對於n²-3這樣一個多項式時間來說，n=2的時候可能只要花1的時間，甚至低於線性時間，但n=4的時候可能就要花13的時間了，可以想象再大一些這個數值會變得巨大。但是它又不及指數時間增長快(mⁿ)，且mⁿ不能寫成多項式形式，所以它又和多項式時間有區別。

而且，這個增長變速的特性是不受參數限制的。也就是說，無論你把m*n ²的m這個常量改成多么微小的一個值，總有一個n讓這個多項式的值大於n，也就是說到這一刻多項式時間的算法耗時高於了線性時間的算法，之后耗時差距一定會越來越大。這一特性是多項式本身的性質決定的。類似，指數級時間也是如此，無論你將n的一個多項式中的所有常量設置到多大，總有一個n的指數值大於多項式值。

所以我們說 指數時間大於多項式時間， 多項式時間大於線性時間， 線性時間大於常數時間，一定要注意這些大於並不是對於所有n的所有情況成立的，只是在說隨着n增加前者一定超過后者。

不可解問題

會不會所有的問題都可以找到復雜度為多項式級的算法呢？很遺憾，答案是否定的。有些問題甚至根本不可能找到一個正確的算法來，這稱之為“不可解問題”(Undecidable Decision Problem)。The Halting Problem就是一個著名的不可解問題

P類問題

如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間里解決它的算法，那么這個問題就屬於P問題。P是英文單詞多項式的第一個字母

NP問題

NP問題不是非P類問題。NP問題是指可以在多項式的時間里驗證一個解的問題。NP問題的另一個定義是，可以在多項式的時間里猜出一個解的問題。

換句話說，就是在解決一個問題時，找一個解很困難，而驗證（猜測）一個解很容易。

所有的P類問題都是NP問題，也就是說，能多項式地解決一個問題，必然能多項式地驗證一個問題的解

NPC問題

人們普遍認為，P=NP不成立，也就是說，多數人相信，存在至少一個不可能有多項式級復雜度的算法的NP問題。

人們如此堅信P≠NP是有原因的，就是在研究NP問題的過程中找出了一類非常特殊的NP問題叫做NP-完全問題，也即所謂的 NPC問題。C是英文單詞“完全”的第一個字母。正是NPC問題的存在，使人們相信P≠NP

約化/規約

簡單地說，一個問題A可以約化為問題B的含義即是，可以用問題B的解法解決問題A，或者說，問題A可以“變成”問題B

《算法導論》上舉了這么一個例子。比如說，現在有兩個問題：求解一個一元一次方程和求解一個一元二次方程。那么我們說，前者可以約化為后者，意即知道如何解一個一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我們可以寫出兩個程序分別對應兩個問題，那么我們能找到一個“規則”，按照這個規則把解一元一次方程程序的輸入數據變一下，用在解一元二次方程的程序上，兩個程序總能得到一樣的結果。這個規則即是：兩個方程的對應項系數不變，一元二次方程的二次項系數為0。按照這個規則把前一個問題轉換成后一個問題，兩個問題就等價了

“問題A可約化為問題B”有一個重要的直觀意義：B的時間復雜度高於或者等於A的時間復雜度。也就是說，問題A不比問題B難。這很容易理解。既然問題A能用問題B來解決，倘若B的時間復雜度比A的時間復雜度還低了，那A的算法就可以改進為B的算法，兩者的時間復雜度還是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程難，因為解決前者的方法可以用來解決后者。
很顯然，約化具有一項重要的性質：約化具有傳遞性。如果問題A可約化為問題B，問題B可約化為問題C，則問題A一定可約化為問題C。

從約化的定義中我們看到，一個問題約化為另一個問題，時間復雜度增加了，問題的應用范圍也增大了。通過對某些問題的不斷約化，我們能夠不斷尋找復雜度更高，但應用范圍更廣的算法來代替復雜度雖然低，但只能用於很小的一類問題的算法。

再回想前面講的P和NP問題，聯想起約化的傳遞性，自然地，我們會想問，如果不斷地約化上去，不斷找到能“通吃”若干小NP問題的一個稍復雜的大NP問題，那么最后是否有可能找到一個時間復雜度最高，並且能“通吃”所有的 NP問題的這樣一個超級NP問題？答案居然是肯定的。也就是說，存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那么所有的NP問題都解決了。這種問題的存在難以置信，並且更加不可思議的是，這種問題不只一個，它有很多個，它是一類問題。這一類問題就是傳說中的NPC 問題，也就是NP-完全問題。

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NPC問題的定義非常簡單。同時滿足下面兩個條件的問題就是NPC問題：

首先，它得是一個NP問題；

然后，所有的NP問題都可以約化到它。

證明一個問題是 NPC問題也很簡單。先證明它至少是一個NP問題，再證明其中一個已知的NPC問題能約化到它（由約化的傳遞性，則NPC問題定義的第二條也得以滿足），這樣就可以說它是NPC問題了。既然所有的NP問題都能約化成NPC問題，那么只要任意一個NPC問題找到了一個多項式的算法，那么所有的NP問題都能用這個算法解決了，NP也就等於P 了。