因為一直都不怎么會 NPC 問題的規約證明，於是記錄一下今天看到的幾個簡單的問題。
首先這里的 NPC 問題都是規約到 3-SAT 上的，3-SAT 問題的即有 \(n\) 個 \(01\) 變量 \(x_i\) 和 \(m\) 個限制，每個限制為有一個三元組 \(C_j=(a,b,c)\) 其中 \(a,b,c\in\{x_i,\neg x_i\}\)，對於每一個限制要滿足 \(a,b,c\) 不能均為 false。
顯然所有的 SAT 問題都可以通過建虛點的形式轉化成 3-SAT 問題。然后有一個 ETH 猜想，即不存在能在 \(2^{o(n)}poly(|I|)\) 的復雜度內判定 3-SAT 的算法（\(I\) 指輸入）。
Subset Sum
問對於大小為 \(n\) 一個集合 \(S\)，能否從中找到一個子集滿足子集中的元素之和為 \(k\)。
對於每個變量我們建立兩個元素 \(a_i,b_i\)，其中 \(a_i=10^{i-1}+\sum_{x_i\in C_j} 10^{n+j-1},b_i=10^{i-1}+\sum_{\neg x_i\in C_j} 10^{n+j-1}\) 第 \(i-1\) 相當於表示 \(x_i\) 有沒有賦值，然后第 \(n+j-1\) 位則表示 \(C_j\) 有幾個變量的值跟要求是一樣的。然后再對每個限制增加兩個元素 \(c_i=d_i=10^{n+j-1}\) 用於補不滿足的（補成一定有 \(3\) 個滿足）。
然后令 \(k=\sum_{i=1}^{n} 10^{i-1}+\sum_{j=1}^{m} 3 \cdot 10^{n+j-1}\) 做 Subset Sum 即可。
Knapsack
有 \(n\) 個物品的集合 \(S\)，每個物品有一個重量 \(w_i\) 和權值 \(v_i\)，對於集合 \(T\) 設 \(w(T)=\sum_{i\in T}w_i,v(T)=\sum_{i\in T}v_i\)。給定背包大小 \(C\)，求 \(\max_{w(T)\le C} V(T)\)。
設一個 Subset Sum 問題中的元素為 \(a_i\)，那么令 \(w_i=v_i=a_i,C=k\) 做一遍背包然后檢查是否等於 \(k\) 即可。
從這兩個規約可以看出，Knapsack 問題不存在 \(2^{o(\sqrt{|I|})}\) 復雜度的做法。（根號的原因是將 3-SAT 問題規約到背包我們的值域是 \(O(10^m)\) 所以輸入是 \(O(m^2)\)）。
然后一個 \(2^{O(\sqrt{|I|})}\) 解決 01 背包問題的方法就是，如果 \(n\le O(\sqrt {|I|})\) 就 \(2^n\) 暴力，否則對於權值最大的 \(\sqrt n\) 個暴力，對於剩下的做值域為 \(O(\sqrt{|I|})\) 的背包就好啦。
無向圖染色問題
給定一個無向圖和 \(k\) 種顏色，判斷能否染色使得有邊的兩個點不同色。
考慮只有 \(3\) 種顏色的時候，可以簡單地將或操作通過染色實現，然后就可以規約到 3-SAT 了，具體如下圖。（下面兩個是輸入，上面是輸出）
