P問題、NP問題、NP完全問題、NP難問題

1. 如果一個問題存在一個能在多項式的時間里解決它的算法，那么這個問題就屬於P問題，如冒泡排序。
2. NP問題不是非P類問題，是指可以在多項式的時間里驗證一個解是否正確的問題。
3. P問題存在多項式時間的算法來找到問題答案，因此肯定可以在多項式時間內驗證一個解是否正確，所以P問題集合肯定是NP問題集合子集。
4. 但是，是不是所有NP問題都存在能在多項式時間內尋找到答案的算法呢？也就是NP是不是包含於P，繼而NP=P呢？如，漢密爾頓回路，目前而言，能在多項式時間內驗證一個解是否正確，但是，目前尚未發現能在多項式時間內找到回路的算法。所以，該問題目前來講是個NP問題，尚未進入P問題的行列。未來，能否找到該問題的多項式時間算法，尚不可知。
5. NPC問題的出現，使得很多研究者認為NP！=P。
6. 約化：如果一個問題p1能夠將其“放大”成為一個更為一般的問題p2，則如果找到了p2的解法，則p1可解。比如如果知道一元二次方程的解法，一元一次方程解法也就有了，因為只要把一元二次方程二次項的系數設置為0，就是一元一次方程的解法了。這個從“小”到“大”，從“特例”到“一般”的過程就是約化。顯然，大問題時間復雜度肯定比小問題時間復雜度高。
7. 實際上，是能夠找到通吃若干小NP問題的大NP問題的，甚至是通吃所有NP問題的超級NP問題，這些超級NP問題就是NPC問題，NPC問題數量很多。找到一個NPC問題的多項式時間解法，則所有NP問題就都找到了多項式時間解法。
8. NPC問題的定義：一、它是一個NP問題；二、“所有”NP問題都可以約化到它。
9. NPC問題的證明：第一步，證明其是一個NP問題；第二步，證明一個“已知的NPC問題”能夠約化到它。邏輯電路問題是一個已證明的NPC問題（給定一個邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為True，這即邏輯電路問題），隨后就衍生了一大堆NPC問題。
10. NP-hard問題：滿足NPC問題定義的第二條，但不滿足第一條。即使NPC問題發現了多項式級的算法，NP-Hard問題有可能仍然無法得到多項式級的算法。事實上，由於NP-Hard放寬了限定條件，它將有可能比所有的NPC問題的時間復雜度更高從而更難以解決。