P问题、NP问题、NP完全问题、NP难问题

1. 如果一个问题存在一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题，如冒泡排序。
2. NP问题不是非P类问题，是指可以在多项式的时间里验证一个解是否正确的问题。
3. P问题存在多项式时间的算法来找到问题答案，因此肯定可以在多项式时间内验证一个解是否正确，所以P问题集合肯定是NP问题集合子集。
4. 但是，是不是所有NP问题都存在能在多项式时间内寻找到答案的算法呢？也就是NP是不是包含于P，继而NP=P呢？如，汉密尔顿回路，目前而言，能在多项式时间内验证一个解是否正确，但是，目前尚未发现能在多项式时间内找到回路的算法。所以，该问题目前来讲是个NP问题，尚未进入P问题的行列。未来，能否找到该问题的多项式时间算法，尚不可知。
5. NPC问题的出现，使得很多研究者认为NP！=P。
6. 约化：如果一个问题p1能够将其“放大”成为一个更为一般的问题p2，则如果找到了p2的解法，则p1可解。比如如果知道一元二次方程的解法，一元一次方程解法也就有了，因为只要把一元二次方程二次项的系数设置为0，就是一元一次方程的解法了。这个从“小”到“大”，从“特例”到“一般”的过程就是约化。显然，大问题时间复杂度肯定比小问题时间复杂度高。
7. 实际上，是能够找到通吃若干小NP问题的大NP问题的，甚至是通吃所有NP问题的超级NP问题，这些超级NP问题就是NPC问题，NPC问题数量很多。找到一个NPC问题的多项式时间解法，则所有NP问题就都找到了多项式时间解法。
8. NPC问题的定义：一、它是一个NP问题；二、“所有”NP问题都可以约化到它。
9. NPC问题的证明：第一步，证明其是一个NP问题；第二步，证明一个“已知的NPC问题”能够约化到它。逻辑电路问题是一个已证明的NPC问题（给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为True，这即逻辑电路问题），随后就衍生了一大堆NPC问题。
10. NP-hard问题：满足NPC问题定义的第二条，但不满足第一条。即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。