數值求導和自動求導

本文轉載自查看原文 2021-03-04 15:48 398 人工智能

2021-03-04

數值求導和自動求導

早在高中階段，我們就開始接觸導數，了解過常用函數的求導公式。大學時，我們進一步懂得了用極限定義導數，比如，函數 $f$ 在 $x$ 處的導數定義為

$f'\left( x \right) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}{\frac{f\left( x + \epsilon \right) - f \left( x \right)}{\epsilon}} \\$

然而，這個定義式似乎從來沒有派上過用場，始終束之高閣。因為對我們來說，這個式子是沒法計算的， $\epsilon$ 趨近於 $0$ ，超出了我們手工計算的能力范疇。另一方面，各種求導公式和求導法則可以讓我們直接求出導函數的解析解，所以完全不需要根據定義來計算某個點的導數。

但出了校園，形勢就變得微妙起來。很多時候，我們無法求得導函數的解析解，或者求解析解的代價太大。這種情況下，數值求導和自動求導應運而生，這是數學與計算機科學碰撞出的火花，我們將會看到它在工程領域綻放的光芒。

數值求導

如果函數 $f$ 是個黑盒子，即我們不知道它的解析形式，但給定任意的輸入 $x$ ，我們都能得到唯一的輸出 $f(x)$ 。這就是典型的計算機程序的特點，函數的內部實現被封裝在庫中，調用方得不到庫的源碼，這時候要想求函數的導數，就只能用數值求導方法。

本文介紹的數值求導方法，也是最常用的數值求導方法，稱為有限差分（Finite-Difference）。該方法正是源自文章開頭介紹的導數定義式。應用該式時，我們需要去掉 $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}{}$ 運算符，用一個實際的小量 $\epsilon$ 代入，但是這樣做勢必會引入誤差。顯然， $\epsilon$ 越小，誤差也會越小，但到底誤差與 $\epsilon$ 之間是怎樣的關系，線性關系還是二次關系，就需要嚴謹的推導才能得知。

使用泰勒定理展開 $f(x+\epsilon)$ 可得

$f(x+\epsilon) = f(x) + f'(x)\epsilon + \frac{1}{2}f''(x + t\epsilon)\epsilon^2, \quad \text{some } t \in (0, 1) \tag{7.2} \\$

如果函數的二階導有限，即存在使得 $\| f''(x) \| \le L$ 成立的 $L$ ，我們就可以把式(7.2)做一次放縮，得到

$\| f(x+\epsilon) - f(x) - f'(x)\epsilon \| \le (L/2) \epsilon^2 \tag{7.3} \\$

進而求得導數

$f'(x) = \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} + \delta_\epsilon, \quad \text{where } | \delta_\epsilon| \le (L/2)\epsilon \tag{7.4} \\$

式(7.4)把式(7.3)中的不等號轉化為一個小量 $\delta_\epsilon$ ，該小量的上界由 $\epsilon$ 決定。此時，我們可以說，有限差分的結果與真實導數值之間的誤差在 $O(\epsilon)$ 這個量級。

看起來似乎讓 $\epsilon$ 越小越好，但實際並沒有這么簡單。計算機的精度是有上限的，任何運算都不可能得到完全精確的結果，而是會存在舍入誤差。假設用來計算式 $(7.4)$ 的量都用雙精度浮點數表示，我們來看看計算機中這些數會有怎樣的舍入誤差。在學習C語言的時候一般會提到，雙精度浮點數由64個二進制位組成，IEEE規定它們的排布如下

最高位是符號位，接下來的11位是指數位，剩下的52位是小數位。現在我們考慮一個問題，對於任意一個可以用浮點數表示的實數，它的真實值與其浮點數表示的值之間相差多少？咋看上去，這個問題的答案似乎是浮點數所能表示的最接近0的實數，也就是指數位取0、小數位取1對應的數。但實際上，由於有效數字位數只有52位，指數越大，有效數字的最低位對應的大小就越大，所以答案是不確定的。我們只能確保真實值與其浮點數表示的值的前52位二進制位是完全相同的，換算成10進制大概是15位。舉例來說， $10^{15}$ 與其浮點數表示相差大約1，而1與其浮點數表示相差大約 $10^{-15}$ 。由此推廣到任意一個數 $x$ ，它的浮點數可以表示為

$\text{fl}(x)=x(1+\epsilon), \quad \text { where }|\epsilon| \leq \mathbf{u} \tag{A.58} \\$

其中 $\mathbf{u} \approx 10^{-15}$ 。可以發現， $\mathbf{u}$ 其實表示的是相對精度。現在回到式(7.4)，如果我們用計算機計算的結果代替理想值，即用 $\text{fl}(f(x+\epsilon) )$ 替代 $f(x+\epsilon)$ ，用 $\text{fl}(f(x))$ 替代 $f(x)$ ，結果勢必會變化，由式(A.58)可知

$\begin{aligned} | \text{fl}(f(x)) - f(x)| &= |f(x) + f(x)\epsilon - f(x)| \\ &= |f(x) \epsilon| \\ &\le L_f |\epsilon| \\ &\le L_f \mathbf{u} \end{aligned} \\$

其中， $L_f$ 是函數值的界限。同理，

$| \text{fl}(f(x+\epsilon)) - f(x+\epsilon)| \le L_f \mathbf{u} \\$

這意味着

$\text{fl}(f(x)) = f(x) + \delta_{\epsilon_1}, \quad \text{where } |\delta_{\epsilon_1}| \le L_f \mathbf{u} \\ \text{fl}(f(x + \epsilon)) = f(x + \epsilon) + \delta_{\epsilon_2}, \quad \text{where } |\delta_{\epsilon_2}| \le L_f \mathbf{u} \\$

此時，我們再按照式(7.4)的計算方式計算導數的浮點數表示

$\begin{aligned} \text{fl}(f'(x)) &= \frac{\text{fl}(f(x + \epsilon)) - \text{fl}(f(x))}{\epsilon} + \delta_\epsilon\\ &= \frac{f(x + \epsilon) - f(x) + \delta_{\epsilon_2} - \delta_{\epsilon_1}}{\epsilon} + \delta_\epsilon \\ &= \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} + \delta \end{aligned} , \quad \text{where } | \delta| \le (L/2)\epsilon + 2L_f\mathbf{u}/\epsilon \tag{7.5} \\$

現在，誤差不只和 $\epsilon$ 有關，還與計算機的相對精度 $\mathbf{u}$ 有關。如果我們把 $\delta$ 對 $\epsilon$ 求導，令導數等於0，可以求得當 $\epsilon^2 = \frac{4L_f\mathbf{u}}{L}$ 時， $\delta$ 取極小值。這個結論說明， $\epsilon$ 並不是越小越好。實際應用中，我們假設 $\frac{4L_f}{L}$ 不會太大也不會太小，所以取 $\epsilon = \sqrt{\mathbf{u}}$ 即可。

這種有限差分方法稱為前向差分（forward-difference），因為只計算了當前點和前面的點的函數值，可以想象，這種方法算出來的結果總是會有一些偏差。更好的方法是中心差分（central-difference），定義如下

$f'(x) \approx \frac{f(x + \epsilon) - f(x - \epsilon)}{2\epsilon} \tag{7.7} \\$

如果我們仍按照前面的方式分別對 $f(x+\epsilon)$ 和 $f(x-\epsilon)$ 泰勒展開，可以發現式(7.7)的近似誤差在 $O(\epsilon^2)$ 數量級。

那是不是中心差分一定比前向差分好呢？未必。實際中，函數的自變量 $x$ 通常是一個向量。此時導數也是個向量，有限差分方法需要分別對自變量的各個分量求導。假設 $x$ 是 $N$ 維向量，那么前向差分需要計算 $N+1$ 次函數值，而中心差分則需要計算 $2N$ 次函數值。可見，中心差分精度高的代價是計算量大，實際使用時需要有所取舍。

稀疏雅克比

目標函數的導數又稱為雅克比矩陣。對於標量函數來說，雅可比矩陣是個行向量，形式如下

$\nabla f(x)=\left[\begin{array}{} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{array}\right] \\$

剛剛提到過，這種函數的前向差分需要計算 $N+1$ 次函數值。而對於向量函數，雅可比矩陣是個 $M×N$ 的矩陣， $M$ 是目標函數的維度，形式如下

$\begin{equation*} \nabla f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \end{equation*} \\$

這時候，矩陣的每一個元素都需要計算一次函數值（這里所說的函數值是指向量函數中的結果向量的每一維），總共需要計算 $M(N+1)$ 次。

於是，輸入變量和目標函數的維度越高，雅可比的計算量越大，數值求導很容易變得不再可行。好在某些實際問題中，雅可比矩陣會呈現出稀疏的特征，比如下面這個樣子

$\begin{bmatrix} × & × & & & & \\ × & × & ×& & & \\ & ×& × & × & & \\ & & ×& ×& ×& \\ & & & ×& ×& × \\ & & & & × & × \end{bmatrix} \tag{7.13} \\$

只有對角的條帶狀元素有值，其它位置都是0。如何利用這一特點加速雅可比計算呢？

把有限微分公式推廣到向量情況，對於雅可比矩陣中的任意一個值 $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}$ ，需要取 $\epsilon_i = \epsilon e_i$ ，其中 $e_i$ 是第 $i$ 維的單位基向量。仔細觀察式(7.13)的第一列和第四列，可以發現， $x_1$ 只對導數中的 $f'_1$ 和 $f'_2$ 分量產生影響， $x_4$ 只對導數中的 $f'_3$ 、 $f'_4$ 和 $f'_5$ 分量產生影響，這說明 $x_1$ 和 $x_4$ 關於導數值是相互獨立的。這樣我們就可以取 $\epsilon_{1,4} = \epsilon ( e_1 + e_4)$ ，一次性計算出 $\frac{\partial f_j}{\partial x_1}$ 和 $\frac{\partial f_j}{\partial x_2}$ 。

這就是稀疏雅可比帶來的效率提升。推廣到一般情況，即使雅可比矩陣的形式不是條帶狀，也存在一些方法可以找到相互獨立的若干個分量，從而加速計算。不過可以預見的是，對任意形狀的雅可比矩陣搜索獨立分量並不容易，它本質上是一個圖指派問題（graph assignment）。

條帶狀的雅可比矩陣並不罕見，如果你接觸過視覺SLAM，就會發現視覺SLAM中的雅可比矩陣都是條帶狀的。這是因為在整個時間序列中，某個時間點的誤差項只和少數的若干個位姿和路標點發生關聯，你不可能在任何位置觀測到所有的路標點。

既然雅可比矩陣可以有限差分，海森矩陣也可以。而且海森矩陣是對稱的，所以我們只需要計算一半的元素即可。海森矩陣也有常見的稀疏形式，通常是箭頭狀，利用這一稀疏性也可以大大減少計算量。由於篇幅限制，本文就不詳細介紹了。

自動求導

數值求導很方便，不需要知道目標函數的表達式就可以計算。但是大多數情況是，我們知道目標函數的表達式，但這個表達式太復雜，很難手動計算導數的解析形式。或者目標函數是隨時變化的，無法事先求出。一個典型的例子就是神經網絡，每次我們更改網絡的層數、維度、激活函數、損失函數等等，都會使得目標函數發生變化。手動求導是不可行的，數值求導雖然可行但精度難以保證，且巨大的自變量維度會導致雅可比矩陣計算量突破天際。於是，自動求導的出現解決了這個問題。

很多人搞不清楚數值求導、符號求導和自動求導的區別。本文沒有提到符號求導，這是一種直接用計算機計算導數解析解的方法，存在於MATLAB、Mathematica等數值計算軟件中。而自動求導不同於符號求導，它並不計算解析解，而是利用鏈式法則將復雜的函數拆分成一個個獨立的計算單元，分別對這些小單元求導，最后再合並得到完整的導數。將函數拆分為多個計算單元后，我們稱之為計算圖（computational graph），這是一個有向無環圖，標記了數據的流向。我們用一個例子來詳細介紹這一方法。

目標函數

$f(x)=\left(x_{1} x_{2} \sin x_{3}+e^{x_{1} x_{2}}\right) / x_{3} \tag{7.26} \\$

拆分為多個計算單元

$\begin{array}{l} x_{4}=x_{1} * x_{2} \\ x_{5}=\sin x_{3} \\ x_{6}=e^{x_{4}} \\ x_{7}=x_{4} * x_{5} \\ x_{8}=x_{6}+x_{7} \\ x_{9}=x_{8} / x_{3} \end{array} \tag{7.27} \\$

按照計算順序將其表示成有向圖如下

我們最終的目的是求導數 $\nabla f(x) = \left[\begin{array}{} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \frac{\partial f}{\partial x_3} \end{array}\right]$ 。以第一項 $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ 為例，根據鏈式法則

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_1} &= \frac{\partial f}{\partial x_8} \frac{\partial x_8}{\partial x_1} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x_8} \left( \frac{\partial x_8}{\partial x_7} \frac{\partial x_7}{\partial x_1} + \frac{\partial x_8}{\partial x_6} \frac{\partial x_6}{\partial x_1} \right) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x_8} \left( \frac{\partial x_8}{\partial x_7} \left( \frac{\partial x_7}{\partial x_4} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) + \frac{\partial x_8}{\partial x_6} \left( \frac{\partial x_6}{\partial x_4} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) \right) \\ \end{aligned} \\$

這樣分解之后，每一個需要計算的項都是相鄰節點之間簡單函數的導數。而且計算圖從左到右對應着上式從內到外，我們只需要一次前向傳播（forward sweep）即可得出結果。

自動求導就是這么簡單，但還不止於此。如果我們換種方式使用鏈式法則，像下面這樣

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_1} &= \frac{\partial f}{\partial x_4} \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \\ &= \left( \frac{\partial f}{\partial x_6} \frac{\partial x_6}{\partial x_4} + \frac{\partial f}{\partial x_7} \frac{\partial x_7}{\partial x_4} \right) \frac{\partial x_4}{\partial x_1}\\ &= \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x_8} \frac{\partial x_8}{\partial x_6} \right)\frac{\partial x_6}{\partial x_4} + \left( \frac{\partial f}{\partial x_8} \frac{\partial x_8}{\partial x_7} \right)\frac{\partial x_7}{\partial x_4} \right) \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \\ \end{aligned} \\$

有沒有發現和上面的差別？第一種鏈式法則是把計算圖從右到左依次展開的，而第二種鏈式法則是把計算圖從左到右依次展開的。這樣的結果是，第二種方法需要先計算最右側的導數，然后依次向左計算。因此它不僅需要一次前向傳播，還需要一次反向傳播（reverse sweep）。

在自動求導中，第一種方法稱為前向模式（forward mode），第二種方法稱為逆向模式（reverse mode）。看起來似乎逆向模式計算更復雜，而且需要保存前向傳播產生的中間變量，但實際的深度學習框架中都采用的是逆向模式，這是為什么呢？

這是由目標函數的形式決定的。在深度學習以及大部分優化問題中，目標函數都是標量函數 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ ，自變量很多，但函數值只有一個。這種情況下，使用前向模式，需要分別對每個自變量做一次前向傳播，也就是 $N$ 次前向傳播。如果使用逆向模式，雖然從上面的公式看起來好像也需要 $N$ 次計算，但實際上計算的時候是從括號內部向外逐項計算的，對應到計算圖上是從右向左計算。這和從左向右很不一樣，因為從右向左的起始點只有一個，因此算出來的結果最終對左側的所有輸入節點都是通用的。也就是說，從右向左計算的中間節點的值可以共享給所有輸入變量，從而減少計算次數。

這個道理可以推廣到向量目標函數 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^m$ 。使用前向模式，我們需要完整地計算 $N$ 次前向傳播。使用逆向模式，我們需要完整地計算 $M$ 次反向傳播。因此，當 $N \gg M$ 時，使用逆向模式比較好，當 $N \ll M$ 時，使用前向模式比較好。

與數值求導中的稀疏雅可比類似，自動求導時也可以考慮稀疏性。仍然是找到計算圖中相互獨立的輸入節點，在前向傳播時同時考慮這些輸入即可。

總結

數值求導和自動求導是數值最優化中的基本操作，了解它們的原理，可以幫助我們更深刻地理解優化算法的性能。本文的講解比較粗淺，旨在幫助大家了解基本概念，感興趣的同學可以繼續查閱相關資料。

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