本人的證明並不是非常嚴謹
證明1 感性理解
把這個問題翻譯成人話：（如果 \(\alpha\) 是真的，那么 \(\beta\) 是真的）說明（如果 \(\beta\) 是假的，那么 \(\alpha\) 是假的）
其實是顯然的，我們考慮 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的真假情況：
| \(\alpha\) | \(\beta\) | 情況 |
|---|---|---|
| True | True | 即題設 |
| True | False | 顯然與題設矛盾 |
| False | True | 顯然與題目無關 |
| False | False | 即結論 |
證明1的精髓其實是在於翻譯成人話那一步
證明2 集合
預備
我們將任意一個命題寫成 \(p\to q\) 的形式，表示“如果 \(p\) ，那么 \(q\).”
if(p==true)q=true;//用程序語言表達是這樣
通過這種形式，我們可以較為清晰得表示出
- 逆命題：\(q\to p\)
- 否命題：\(\neg p\to\neg q\)
- 逆否命題：\(\neg q\to \neg p\)
可以看出逆否命題即使逆命題和否命題的組合
我們要證明的即是：\((p\to q)\to(\neg q\to\neg p)\)
舉個栗子，原命題： 如果小明打碎了花瓶，那么她媽媽一定會打他。
它的逆否命題為： 如果小明媽媽沒有打小明，那么小明一定沒有打碎花瓶。
從這個栗子可以想到：二者的真假性是相同的
證明
因此設滿足 \(p\) 的元素構成集合 \(P\) , 滿足 \(q\) 的元素構成集合 \(Q\) ，滿足 \(\neg p\) 的元素構成集合 \(P^{\prime}\) ，滿足 \(\neg q\) 的元素構成集合 \(Q^{\prime}\)。於是，對於全集 \(U\) ，\(P^{\prime}\) 是 \(P\) 的補集 \(\complement_UP\) ，\(Q^{\prime}\) 是 \(Q\) 的補集 \(\complement_UQ\)
證明3 定理
可以先了解一下這個啊
我們需要證明的是：\(\vdash(P\to Q)\to(\neg Q\to\neg P)\)
\(P\to Q\) 表示 \(P\) 蘊含 \(Q\) ,它是命題 $\neg P\vee Q $
\(\neg Q\to\neg P\) 表示 \(\neg Q\) 蘊含 \(\neg P\)，它是命題 \(\neg(\neg Q)\vee\neg P=Q\vee\neg P\)
顯然有 \(\neg P\vee Q=Q\vee\neg P\)
因此二者真值相同
補充
由此，我們可以知道命題和否命題的真假性也相同