本人的证明并不是非常严谨
证明1 感性理解
把这个问题翻译成人话：（如果 \(\alpha\) 是真的，那么 \(\beta\) 是真的）说明（如果 \(\beta\) 是假的，那么 \(\alpha\) 是假的）
其实是显然的，我们考虑 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的真假情况：
| \(\alpha\) | \(\beta\) | 情况 |
|---|---|---|
| True | True | 即题设 |
| True | False | 显然与题设矛盾 |
| False | True | 显然与题目无关 |
| False | False | 即结论 |
证明1的精髓其实是在于翻译成人话那一步
证明2 集合
预备
我们将任意一个命题写成 \(p\to q\) 的形式，表示“如果 \(p\) ，那么 \(q\).”
if(p==true)q=true;//用程序语言表达是这样
通过这种形式，我们可以较为清晰得表示出
- 逆命题：\(q\to p\)
- 否命题：\(\neg p\to\neg q\)
- 逆否命题：\(\neg q\to \neg p\)
可以看出逆否命题即使逆命题和否命题的组合
我们要证明的即是：\((p\to q)\to(\neg q\to\neg p)\)
举个栗子，原命题： 如果小明打碎了花瓶，那么她妈妈一定会打他。
它的逆否命题为： 如果小明妈妈没有打小明，那么小明一定没有打碎花瓶。
从这个栗子可以想到：二者的真假性是相同的
证明
因此设满足 \(p\) 的元素构成集合 \(P\) , 满足 \(q\) 的元素构成集合 \(Q\) ，满足 \(\neg p\) 的元素构成集合 \(P^{\prime}\) ，满足 \(\neg q\) 的元素构成集合 \(Q^{\prime}\)。于是，对于全集 \(U\) ，\(P^{\prime}\) 是 \(P\) 的补集 \(\complement_UP\) ，\(Q^{\prime}\) 是 \(Q\) 的补集 \(\complement_UQ\)
证明3 定理
可以先了解一下这个啊
我们需要证明的是：\(\vdash(P\to Q)\to(\neg Q\to\neg P)\)
\(P\to Q\) 表示 \(P\) 蕴含 \(Q\) ,它是命题 $\neg P\vee Q $
\(\neg Q\to\neg P\) 表示 \(\neg Q\) 蕴含 \(\neg P\)，它是命题 \(\neg(\neg Q)\vee\neg P=Q\vee\neg P\)
显然有 \(\neg P\vee Q=Q\vee\neg P\)
因此二者真值相同
补充
由此，我们可以知道命题和否命题的真假性也相同