注：本篇隨筆依據《Matlab在數學建模上的應用》中第3章介紹來寫，主要簡單介紹灰色模型及其Matlab實現
（博客以及Matlab小白，若有不當歡迎指出）
灰色模型（gray model）簡介
灰色模型的作用：解決數據預測問題。
灰色模型的優點：實用穩定，不僅適用於大數據量的預測，在數據量比較少時（3個以上即可）預測結果依舊准確。
Matlab中灰色模型的使用
詳細流程（熟悉的話可跳過看總結）
（1）先對數據進行預處理。
預處理是指將雜亂無章的數據列通過一定的方法處理，變成有規律的時間序列數據。
常用的數據處理方式有累加和累減兩種，通常用累加。
設原始數據列：\(x^{(0)}=（x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n)）\)
累加：\(x^{(1)}(t)=\sum_{k=1}^{t}x^{(0)}(k), t=1,2,...,n\)
（2）建立\(x^{(1)}(t)\)的一階線性微分方程。
在諸多灰色模型中，單序列一階線性微分方程模型GM(1,1)最為常用。
\(\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=u\)
其中a,u為待定系數，分別稱為發展系數和灰色作用量，構造矩陣\(\widehat{a}=\binom{a}{u}\)
（3）建立累加矩陣B和常數項向量Y。
（4）最小二乘法求解灰參數\(\widehat{a}\)。
\(\widehat{a}=(B^{T}B)^{-1}B^{T}Y\)
（5）將灰參數\(\widehat{a}\)代入模型求解。
得到：\(\widehat{x}^{(1)}(t+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{u}{a})e^{-at}+\frac{u}{a}\)
（6）還原為\(\widehat{x}^{(0)}\)序列。
\(\widehat{x}^{(0)}(t+1)=\widehat{x}^{(1)}(t+1)-\widehat{x}^{(1)}(t)\)
（7）檢驗模型。
也可以直接作圖看效果。
（8）利用模型進行預測。
大致流程（總結）
①對原始數據進行累加。（弱化隨機性和波動性）
②構建累加矩陣B與常數向量。
③求解灰參數。
④將參數帶入預測模型進行數據預測。
模版代碼
clear
A=[1810,1938,1838,1463]; %數據（必須大於3個）
B=cumsum(A); %對向量中的元素累加（第幾個等於原來的前幾個之和）
n=length(A); %數據量（向量長度）
for i=1:(n-1) %求相鄰數據的均值向量
C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;
end
E=[-C;ones(1,n-1)]; %求累加矩陣B
D=A;D(1)=[];
D=D'; %求常數項列向量Y
c=(E*E')\(E*D); %求系數矩陣（列向量）a
c=c'; %轉置（變為行向量）
a=c(1);b=c(2);
F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+3) %還要預測接下來的3個數據
F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; %直接帶入灰參數得到模型，求數據
end
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+3)
G(i)=F(i)-F(i-1); %還原序列（去累加）
end
t1=1:4;
t2=1:7;
G %顯示根據灰色模型得到的數據
plot(t1,A,'o',t2,G) %作圖，將原始數據與灰色模型得到的數據相比較