【Cesium 歷史博客】地平線剔除算法

Horizon Culling | cesium.com

在開發 Cesium 程序時，需要快速確定場景中的對象什么時候不可見，從而判斷它不需要渲染。

一種方法是使用視錐體平視剔除，但是還有另一種重要的剔除方法是地平線剔除。

上圖中，綠色點是 viewer 內可見的。紅色點是不可見的，因為它們在視錐體外面（視錐體用粗白線畫出）。藍色點雖然在視錐體內，但是它在地球背面，所以它也是不可見的。換句話說，它在地平線下。

地平線剔除的思路很簡單，即不需要渲染 viewer 視野中地平線之下的東西。聽起來簡單，但是細節挺多的，尤其是要考慮到性能問題（要快速剔除）。Cesium 每次渲染時，為了檢測這些地形瓦片的可見性，就要測試上百次，不過這很重要。

相對於球體的地平線下點剔除

可為所有靜態對象（例如瓦片）計算其范圍球體（boundingSphere）。假設這個范圍球體很小以至於與地球比起來，像一個點，如果這個點在地平線下，那么我們也能說這個瓦片就在地平線下。

當前提出的新算法僅限於對橢球體計算單個點的情況。現在不妨設“遮擋點”已經被計算出來了。

為了說明簡便，先進行正球體的地平線剔除，然后再推廣到橢球體的地平線剔除。

考慮下面這張圖片：

上圖中，藍色的圓是一個單位球面，從 Viewer 向外延申並和單位球面相切的這兩條細黑線表示地平線。

垂直的這根粗黑線表示地平線交單位球面的所有地平點，是一個圓。

從 Viewer 到這個圓上的所有點的向量，就構成了一個圓錐體（包括陰影部分）。

譯者注

想象一下一個漏斗套一個乒乓球，大概就是這個情況

圖中陰影部分表示地平線以下的區域，Viewer 看不到這些區域。換句話說，如果一個點在這個陰影區域，那么這個點就在地平線下。

計算某點位於平面的哪一側

首先，做一個簡單的計算，來算出這個點在垂直黑直線那個圓的圓面的哪一邊：

• V：Viewer的位置
• C：單位球面的中心
• H：地平線切單位球面的點
• T：待計算的目標點
• P：H點投影到VC向量的點
• Q：T點投影到VC向量的點

由勾股定理：

\[||\vec{VH}||^2 + ||\vec{HC}||^2 = ||\vec{VC}||^2 \]

由單位球，易得 \(\vec{HC}\) 向量的長度是1：

\[||\vec{VH}||^2 = ||\vec{VC}||^2-1 \]

易證 \(△VCH\) 和 \(△HCP\) 相似，所以有：

\[\frac{||\vec{PC}||}{||\vec{HC}||}=\frac{||\vec{HC}||}{||\vec{VC}||} \]

代入 \(||\vec{HC}|| =1\)，整理得

\[||\vec{PC}||=\frac{1}{||\vec{VC}||} \]

所以，Viewer 到平面（下文均用平面簡稱，即地平線與球面相切的所有點的集合構成的圓周代表的面，即圖上垂直黑色粗線）的距離：

\[||\vec{VP}||=||\vec{VC}|| - \frac{1}{||\vec{VC}||} \]

如果，\(\vec{VT}\) 在 \(\vec{VC}\) 的投影 \(\vec{VQ}\) 長度小於 \(\vec{VP}\)，那么點就在平面內（視錐內）。

換句話說，如果 \(||\vec{VQ}||>||\vec{VP}||\)，那么點就在地平線下：

\[||\vec{VQ}||=||\vec{VT}||cos(\vec{VT}, \vec{VC})=\vec{VT}·\hat{VC}>||\vec{VP}||=||\vec{VC}|| - \frac{1}{||\vec{VC}||} \]

左右均乘以 \(||\vec{VC}||\)，即

\[\vec{VT}·\hat{VC}·||\vec{VC}||=\vec{VT}·\vec{VC}>||\vec{VC}||^2-1 \]

結論

若想知道目標點位於平面的前面還是后面，只需取 Viewer 到目標點的向量 \(\vec{VT}\)、Viewer 到單位球心的向量 \(\vec{VC}\)，求其內積，判斷結果與 Viewer 到單位球心距離與1的差的大小即可。

若大於，則點在地平線下（平面后），反之則在平面前（地平線上）

判斷目標點與圓錐體的關系

仍舊是考慮原來的圖，這次考慮兩個角 \(∠HVC\)（記為α）、\(∠TVC\)（記為β）

當角 β < α 時，目標點 T 就位於圓錐內了。

在 \([0, π]\) 區間上，對於任意的 β > α，有

\[cos(β) > cos(α) \]

角 α 是 \(Rt△VCH\) 的一個角，所以：

\[cos(β) > \frac{||\vec{VH}||}{||\vec{VC}||} \]

由余弦的定義，cos(β) 可寫為

\[cos(β) = \frac{\vec{VT}·\vec{VC}}{||\vec{VT}||·||\vec{VC}||} \]

即

\[cos(β) = \frac{\vec{VT}·\vec{VC}}{||\vec{VT}||·||\vec{VC}||} > \frac{||\vec{VH}||}{||\vec{VC}||} \]

兩邊同時乘上 \(||\vec{VC}||\) 並同時平方，則

\[\frac{(\vec{VT}·\vec{VC})^2}{||\vec{VT}||^2}>||\vec{VH}||^2 \]

根據上一節的計算結果 \(||\vec{VH}||^2=||\vec{VC}||^2-1\)

最終，得到的不等式關系是：

\[\frac{(\vec{VT}·\vec{VC})^2}{||\vec{VT}||^2}>||\vec{VC}||^2-1 \]

\(\vec{VT}\) 和 \(\vec{VC}\) 都很容易計算，若上式不等號成立，則說明目標點在視錐內，否則在視錐外。

推廣到橢球體的情況

上述均為單位球的情況，現在推廣到橢球體上。

單位球的方程是：

\[x^2+y^2+z^2=1 \]

橢球體的方程是：

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]

其中，a、b、c是三個軸的半長（軸半徑）。

利用縮放矩陣，可以將橢球體上的所有點歸為單位球上的計算：

\[M=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{1}{c} \\ \end{bmatrix} \]

代碼

作者認為數學推導過程很重要，但是可以歸結成一些簡單的代碼。每當攝像機位置改變時，都要執行

// 橢球的三個軸半徑 此處使用 WGS84橢球體
var rX = 6378137.0;
var rY = 6378137.0;
var rZ = 6356752.3142451793;

// 向量CV，縮放到單位球空間（除以各軸半徑），方便計算
var cvX = cameraPosition.x / rX;
var cvY = cameraPosition.y / rY;
var cvZ = cameraPosition.z / rZ;
// 向量VH長度的平方
var vhMagnitudeSquared = cvX * cvX + cvY * cvY + cvZ * cvZ - 1.0;

然后對於每個點，要進行測試遮擋剔除算法：

// 目標點T，縮放到單位球空間（除以各軸半徑），方便計算
var tX = position.x / rX;
var tY = position.y / rY;
var tZ = position.z / rZ;

// 向量VT
var vtX = tX - cvX;
var vtY = tY - cvY;
var vtZ = tZ - cvZ;
// 向量VT長度的平方
var vtMagnitudeSquared = vtX * vtX + vtY * vtY + vtZ * vtZ;

// VT點乘VC 和 VT點乘CV的相反數是一樣的
var vtDotVc = -(vtX * cvX + vtY * cvY + vtZ * cvZ);

// bool值，前者是判斷是否在平面內，后者判斷是否在錐體內
var isOccluded = vtDotVc > vhMagnitudeSquared && vtDotVc * vtDotVc / vtMagnitudeSquared > vhMagnitudeSquared;

在 Cesium 中，預先進行了單位球空間的縮放，而不是每次測試都縮放。

EllipsoidalOccluder.prototype.isPointVisible = function (occludee) {
  var ellipsoid = this._ellipsoid;
  var occludeeScaledSpacePosition = ellipsoid.transformPositionToScaledSpace(
    occludee,
    scratchCartesian
  );
  return isScaledSpacePointVisible(
    occludeeScaledSpacePosition,
    this._cameraPositionInScaledSpace,
    this._distanceToLimbInScaledSpaceSquared
  );
};

展望

與之前使用最小范圍球進行剔除的方法相比，使用這個技術減少大約 15% 的瓦片繪制。

其他就不翻譯了

實際應用

在 Cesium 的私有類 EllipsoidalOccluder （位於Core目錄下）中，就使用了這個算法進行剔除計算。