一、問題的提出
LQG控制系統具有一定的相對穩定性，但LQG控制系統甚至LQ最優調節器對被控對象的模型攝動（模型誤差）的魯棒穩定性在某些場合很差。根據LQ最優調節器的性質，狀態反饋閉環系統具有大0.5的穩定幅值裕度，大於等於±60°的相角穩定裕度
1、 在以下兩種情況下，控制系統的設計如果采用傳統的H2性能指標，在某些場合不能滿足實際的需要：
①、如果被控對象不是由一個確定的模型來描述的，而僅知道其模型屬於某個己知的模型集合；
②、外部信號(包括干擾信號、傳感器噪聲和指令信號等)不是具有已知特性（如統計特性或能量譜）的信號也僅知道其屬於某個已知的信號集合。
2、頻域穩定裕度（量）一一相對穩定性
控制系統正常工作的首要條件是系統穩定，同時還必須滿足一定的相對穩定性要求，相對穩定性反映出系統穩定程度的好壞。閉環控制系統相對穩定性(時域中，超調量σ%,根與虛軸距離)可以通過開環頻率特性加以描述。奈氏（幅相）曲線與臨界點(-1,0)的靠近程度，可以用來度量穩定裕度在實際工程系統(控制、電子、通信系統)中常用相角（位）裕度（量）γ和幅值裕度（量）h表示。
一般來說，相角裕度和幅值裕度概念只適用於最小相位控制系統（但可含滯后環節）。
3、最小相位控制系統(minimum phase systems)
①如果控制系統開環傳函的所有極點和零點均位於s左半平面上，則稱該系統為最小相位系統
②一個系統被稱為最小相位系統，當且僅當這個系統是因果穩定（輸出僅與當前或之前的輸入有關，先有因，后有果）的，有一個有理形式的系統函數並且存在着一個因果穩定的逆函數。
③特點：如果兩個系統有相同的幅頻特性，那么對於大於零的任何頻率，最小相位系統的相角總小於非最小相位系統；最小相位系統的幅頻特性和相頻特性直接關聯，也就是說，一個幅頻特性只能有一個相頻特性與之對應，一個相頻特性只能有一個幅頻特性與之對應。對於最小相位系統，只要根據對數幅頻曲線就能寫出系統的傳遞函數
④、相角裕度又稱相位裕度
對於閉環穩定系統，如果開環相頻特性再滯后度，則系統將由穩定變為臨界穩定。為了使最小相位系統穩定，相角裕度必須為正。在對數坐標圖上的臨界穩定點為0dB和-180度。
⑤、相角裕度又稱相位裕度( Phase Margin)γ
對於閉環穩定系統，如果系統開環幅頻特性再增大h倍，則系統將變為臨界穩定狀態。h值越大，保證系統穩定工作的前提下，允許開環增益值變化越大。
二、H_inf控制理論發展
1、1981年， Lamest提出以控制系統的某些信號間的傳遞函數（矩陣）的H∞范數作為優化性能指標的設計思想
2、1982年， Doyle針對H∞性能指標發展了“結構奇異值”來檢驗魯棒性，極大程度地促進了以∞范數為性能指標的控制理論的發展
3、Youla等人提出的控制器參數化，使 Zamesp的Hx性能指標以及Doylel的結構奇異值理論揭開了反饋控制理論的新篇章
4、H∞控制理論蓬勃發展：從頻域到時域、定常系統到時變系統、線性系統到非線性系統、連續系統到離散系統、確定性系統到不確定系統、無時滯系統到時滯系統、單目標控制到多目標控制
5、目前線性系統的Hx控制理論已經基本成熟，形成了一套完整的頻域設計理論和方法，而時域狀態空間的 Riccati方法和LMI方法，由於具有能揭示系統的內部結構、易於計算機輔助設計等優點而倍受重視
三、H∞標准控制問題
工程實際中，許多控制問題可歸結為H∞標准控制問題：干擾抑制問題；跟蹤問題；魯棒穩定問題
1、定義
①H2范數與H∞范數
確定信號，從 power 來說，H-inf 對應的是所有可能輸入中最大的那個 power 放大系數，H2 對應的是 power spectrum 處處相等的信號的 power 放大系數。
類似的，從 energy 來說，H-inf 對應的是所有可能輸入中最大的那個 energy 放大系數，H2 對應的是 energy spectrum 處處相等的信號，impulse 信號，的 energy 放大系數。
隨機信號，從 variance 來說，H-inf 對應的是所有可能輸入中最大的那個 variance 放大系數，H2 對應的是白噪聲的信號的 variance 放大系數。
如果再回到最一開始，那 H-inf 對應的是所有頻率正弦信號輸入中最大的那個幅值放大系數，H2 對應的則是所有頻率正弦信號輸入中幅值放大系數的平方平均，即包含所有正弦分量且它們幅值相等的輸入信號的幅值放大系數。
2.3 魯棒穩定問題
