寫在前面
鳴謝：
OiWiki
「筆記」AC 自動機---LuckyBlock
字符串四姐妹---KnightL
AC自動機講解超詳細---某不知名大佬
Q：AC自動機？是能自己AC題目的算法嗎？（興奮）
A：不不不，那叫自動AC機，通過打開答案文件輸出答案的一種小手段，在比賽中使用還會有禁賽三年的獎勵，而AC自動機是一個字符串匹配算法
AC自動機，全稱\(Aho-Corasick\ automaton\)，是一種用來處理字符串多模式匹配的算法
本人將盡可能詳細的解釋AC自動機的算法流程(其實大部分抄的Oiwiki，這是一個幫助我們共同理解的過程，畢竟作者也是個萌新。開始接受的過程可能比較困難，但多回顧幾遍還是有助於理解的
算法流程
什么是自動機？（粘個鏈接，感性理解就好，不要過於執着）
引例：
給定 \(n\) 個模式串 \(s_i\) 和一個文本串 \(t\)，求有多少個不同的模式串在文本串里出現過。
兩個模式串不同當且僅當他們編號不同。
概述：
結合Trie的結構和KMP的思想建立，建立一個AC自動機主要通過兩個步驟：
-
1、建立Trie樹；
-
2、對Trie樹上的所有結點構造失配指針
Trie樹的構建（第一步）
這個Trie樹就是普通的Trie樹，該怎么建怎么建
解釋一下Trie樹結點的含義：表示某個模式串的前綴
后文也將稱作狀態。一個結點表示一個狀態，Trie樹的邊就是狀態的轉移
形式化的說，對於若干個模式串 \(s_1,s_2,s_3···s_n\)，將它們構建一個Trie樹后的所有狀態的集合記為 \(Q\)
失配指針（第二步）
AC 自動機利用一個 fail 指針來輔助多模式串的匹配。
狀態 \(u\) 的 fail 指針指向另一個狀態 \(v\) ，其中 \(v \in Q\) ，且 \(v\) 是 \(u\) 的最長后綴（即在若干個后綴狀態中取最長的一個作為 fail 指針）。
注意和KMP的next指針的區別：
兩者都是在失配的時候用於跳轉的指針；
next指針求的是最長的border（最長的 相同的 前后綴），而fail指針指向所有模式串的前綴中匹配當前狀態的最長后綴
因為 KMP 只對一個模式串做匹配，而 AC 自動機要對多個模式串做匹配。有可能 fail 指針指向的結點對應着另一個模式串，兩者前綴不同。但是另一個模式串的一定是這個模式串到這里的一個后綴。
AC 自動機在做匹配時，同一位上可匹配多個模式串。
構建失配指針
（可以參考KMP中構建next指針的思想（
考慮更新 \(fail_u\)，\(u\) 的父節點是 \(p\) , \(p\) 通過字符 \(c\) 的邊指向 \(u\) ，即 \(tr[p,c] = u\) 。假設深度小於 \(u\) 的所有結點的 \(fail\) 指針均已求得。
如果 \(tr[fail_p,c]\) 存在：則讓 \(fail_u\) 指向 \(tr[fail[p],c]\) 。相當於在 \(p\) 和 \(fail\) 后面加一個字符
c，分別對應 \(u\) 和 \(fail_u\) 。
如果 \(tr[fail_p,c]\) 不存在：那么我們繼續找到 \(tr[fail_{fail_p},c],c]\) 。重復 \(1\) 的判斷過程，一直跳 \(fail_u\) 指針指到根結點。
如果真的沒有，就讓 \(fail_u\) 指針指向根結點。
舉個例子，對字符串 i, he, his, she, hers 組成的字典樹構建 fail 指針：
給張圖，其中黃色點表示當前結點 \(u\)，綠色點表示已經 bfs 完成的點，橙邊是 fail 指針，紅邊是當前求出的 fail 指針。
重點分析一下 \(6\) 的構建
通過瞪眼法不難看出 \(fail[6]\) 應該指向結點 \(7\)。
分析一下算法流程，找到 \(6\) 的父節點 \(5\)，\(fail[5] = 10\) 然而沒有 \(s\) 的出邊，所以繼續跳 \(fail\) 指針，\(fail[10] = 0\)，發現 \(0\) 有 \(s\) 的出邊並指向 \(7\)，所以 \(fail[6] = 7\)。
全部建完后的圖是這樣的：
這樣就完成了 \(fail\) 的構建，並得到一份比較暴力的構建方式，我們來看優化
字典樹和字典圖
先來看構建函數 build() ，該函數的目標有兩個，一個是構建 fail 指針，一個是構建自動機。
void build(){
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]); // tr[0][i] 都指向 0 結點，所以不用賦初值
//如果存在這個邊就入隊
while(!q.empty()){
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i){
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
//按照上面所說的方式更新fail指針
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];//這是那個優化，后面會講
}
}
}
我們是通過 bfs 構建 fail 指針的，而 fail 指針一定是由深度深的點指向深度淺的點。
我們由已經構建完成的點去構建未構建的點，假設我們當前的已經構建完成的一個狀態是 \(u\)，通過字符 \(i\) 指向下一個狀態。
- 如果存在下一個狀態 \(tr[u][i]\)，那么就讓 \(fail[tr[u][i]]\) 指向 \(tr[fail[u]][i]\)。
正確性應該比較顯然，如果 \(u\) 失配了會指向 \(fail[u]\)，那么在 \(u\) 后面接了一個狀態 \(i\) 后再失配就應該指向 \(fail[u]\) 在后面接一個狀態 \(i\) 在失配的位置。
那如果沒有這個位置怎么辦？\(fail[u]\) 的深度一定比 \(u\) 的深度淺，所以它已經被處理完了，如果 \(tr[fail[u]][i]\) 有值，那么要么是它在 \(fail[u]\) 的模式串下在后面接一個字符 \(i\)，要么是在 \(fail[fail[u]]\) 的模式串下在后面接一個字符 \(i\)，...。不斷這么遞歸，就算最終也沒有，那也只能說明指向了根節點，並不影響正確性。 - 如果不存在下一個狀態 \(tr[u][i]\)，我們讓它指向 \(tr[fail[u]][i]\)，就是為了保證上面第一種情況的正確性。並且通過這步操作，我們可以在匹配的過程中自動跳 \(fail\) 指針，不必再單獨進行判斷。
原來的構建方法可以通過 \(while\) 循環尋找 \(fail\) 結點實現，循環太多次導致復雜度太高
上面提到的優化就是通過else語句的代碼修改了字典樹的結構。
而它將不存在的字典樹狀態鏈連接到失配指針的對應狀態。使得再次遍歷這里的時候會繼續向下跳轉，起到一個通過繼續開鏈來壓縮路徑的效果，這樣就能節省很多時間。
這樣 AC 自動機修改字典樹結構連出的邊就會使字典樹變為字典圖。
如果有人想看更雜亂更加形象的圖的話：
其中：
- 藍色結點：BFS 遍歷到的結點 u
- 藍色的邊：當前結點下，AC 自動機修改字典樹結構連出的邊。
- 黑色的邊：AC 自動機修改字典樹結構連出的邊。
- 紅色的邊：當前結點求出的 fail 指針
- 黃色的邊：fail 指針
- 灰色的邊：字典樹的邊
可以發現，眾多交錯的黑色邊將字典樹變成了 字典圖。圖中省略了連向根結點的黑邊（否則會更亂）。我們重點分析一下結點 5 遍歷時的情況。我們求 \(tr[5][s]\) 的 fail 指針：
本來的策略是找 fail 指針，於是我們跳到 \(fail[5] = 10\) 發現沒有 s 連出的字典樹的邊，於是跳到 \(fail[10] = 0\)，發現有 \(tr[0][s] = 7\) ，於是 \(fail[6] = 7\) ；但是有了黑邊、藍邊，我們跳到 \(fail[5] = 10\) 之后直接走 \(tr[10][s] = 7\) 就走到 \(7\) 號結點了。
這就是 build 完成的兩件事：構建 fail 指針和建立字典圖。這個字典圖也會在查詢的時候起到關鍵作用。
在貼一個最終狀態的圖。這張圖真是令人作嘔
多模式匹配
（這只是對於引例的query函數，具體題目的函數寫法可能不太相同）
int query(char *t){
int u = 0, res = 0;
for(int i = 1; t[i]; ++i){
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for(int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]){
res += e[j], e[j] = -1;
}
}
return res;
}
這里 \(u\) 作為字典樹上當前匹配到的結點， \(res\) 即返回的答案。循環遍歷匹配串， \(u\) 在字典樹上跟蹤當前字符。利用 \(fail\) 指針找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清零。對 \(cnt[j]\) 取反的操作用來判斷 \(cnt[j]\) 是否等於 \(-1\)。在上文中我們分析過，字典樹的結構其實就是一個 \(trans\) 函數，而構建好這個函數后，在匹配字符串的過程中，我們會舍棄部分前綴達到最低限度的匹配。\(fail\) 指針則指向了更多的匹配狀態。
更加形象的匹配過程：
其中：
- 紅色結點： \(p\) 結點
- 粉色箭頭： \(p\) 在自動機上的跳轉，
- 藍色的邊：成功匹配的模式串
- 藍色結點：示跳 fail 指針時的結點（狀態）。
例題
P3808 【模板】AC自動機（簡單版）
做法即上面的引例，這里不再詳細介紹。
P3796 【模板】AC自動機（加強版）
Solution
保證不會存在相同的字符串，那么在插入的末尾標記一下這是第幾個字符串。
在詢問的時候，對於每個狀態不斷跳 \(fail\) 指針找到它的所有狀態，把遇到的末尾標記對應記錄一個 \(cnt\) 進行累加統計。
最后掃一遍 \(cnt\) 的數組找出最大值
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[220][77];
char t[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][26], tot = 0;
int e[MAXN], cnt[MAXN], fail[MAXN];
queue<int> q;
void Clear() {
memset(tr, false, sizeof tr);
memset(e, false, sizeof e);
memset(cnt, false, sizeof cnt);
memset(fail, false, sizeof fail);
tot = 0;
}
void Insert(char *s, int id) {
int now_ = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[now_][s[i] - 'a']) tr[now_][s[i] - 'a'] = ++tot;
now_ = tr[now_][s[i] - 'a'];
}
e[now_] = id;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
void Query(char *t) {
int u = 0;
for(int i = 1; t[i]; ++i) {
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for(int j = u; j; j = fail[j]) cnt[e[j]]++;
}
}
}
int main()
{
while(true) {
AC::Clear();
n = read();
if(!n) return 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", s[i] + 1), AC::Insert(s[i], i);
scanf("%s", t + 1);
AC::Get_fail();
AC::Query(t);
int Max = -1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) Max = max(Max, AC::cnt[i]);
printf("%d\n", Max);
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(Max == AC::cnt[i]) printf("%s\n", s[i] + 1);
}
return 0;
}
P5357 【模板】AC自動機（二次加強版）
Solution
顯然此時暴跳已經不能滿足我們的需求，畢竟隨便一個 \(aaa...aaa\) 的串就能把我們卡成 \(O(n^2)\) 的。
我們發現 \(fail\) 指針總是由深度深的點指向深度淺的點，那么所有 \(u\) 向 \(fail[u]\) 的連邊就恰好構成了一個 \(DAG\)，那么我們可以在匹配到每個節點的時候先不調 \(fail\) 指針，只是標記一下，留到最后一起跳。那樣就可以做到線性的復雜度了。
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 2e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][26], tot = 0;
int fail[MAXN], e[MAXN], cnt[MAXN], pre[MAXN], id[MAXN];
queue<int> q;
void Insert(char *s, int bh) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[u][s[i] - 'a']) tr[u][s[i] - 'a'] = ++ tot;
u = tr[u][s[i] - 'a'];
}
e[u]++;
pre[bh] = u;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]), id[fail[tr[u][i]]]++;
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
void Query(char *s) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
u = tr[u][s[i] - 'a'];
cnt[u]++;
}
}
void Topsort() {
for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(!id[i]) q.push(i);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
int v = fail[u];
cnt[v] += cnt[u];
if(!--id[v]) q.push(v);
}
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%s", s + 1);
AC::Insert(s, i);
}
AC::Get_fail();
scanf("%s", s + 1);
AC::Query(s);
AC::Topsort();
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
printf("%d\n", AC::cnt[AC::pre[i]]);
}
return 0;
}
P2444 [POI2000]病毒
Solution
如何確定它是安全的？
找到一個循環節，使他永遠不會循環到一個結尾結點。可以用 dfs 判環。
注意，如果一個結點的 \(fail\) 指針被標記，那么它也是危險的，也應該被標記。
因為這個結點的 \(fail\) 指針指向的模式串是這個結點所對應的模式串的后綴。
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
char s[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace AC {
int tr[MAXN][2], tot = 0;
int fail[MAXN], e[MAXN];
bool vis[MAXN], f[MAXN];
queue<int> q;
void Insert(char *s) {
int u = 0;
for(int i = 1; s[i]; ++i) {
if(!tr[u][s[i] - '0']) tr[u][s[i] - '0'] = ++ tot;
u = tr[u][s[i] - '0'];
}
e[u] ++;
}
void Get_fail() {
for(int i = 0; i < 2; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 2; ++i) {
if(tr[u][i]) {
fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
if(e[fail[tr[u][i]]]) e[tr[u][i]]++;
}
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
}
}
}
bool dfs(int u) {
vis[u] = true;
for(int i = 0; i < 2; ++i) {
if(vis[tr[u][i]]) return true;
if(!e[tr[u][i]] && !f[tr[u][i]]) {
f[tr[u][i]] = true;
if(dfs(tr[u][i])) return true;
}
}
vis[u] = false;
return false;
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", s + 1), AC::Insert(s);
AC::Get_fail();
AC::dfs(0) ? puts("TAK") : puts("NIE");
return 0;
}
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寫在后面
如有不懂或錯誤煩請指出，我會在最快的時間處理。
最后，屑題單求收藏qwq