SVD（奇異值分解）與在PCA降維中的使用

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　　奇異值分解(Singular Value Decomposition，以下簡稱SVD)是在機器學習領域廣泛應用的算法，它不光可以用於降維算法中的特征分解，還可以用於推薦系統，以及自然語言處理等領域。是很多機器學習算法的基石。

SVD的定義

　　SVD也是對矩陣進行分解，但是和特征分解不同，SVD並不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個m×n的矩陣，那么我們定義矩陣A的SVD為：A=UΣV^T，其中U是一個m×m的矩陣，Σ是一個m×n的矩陣，

除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值，V是一個n×n的矩陣。U和V都是酉矩陣，即滿足U^TU=I,V^TV=I U^TU=I,V^TV=I。下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：

那么我們如何求出SVD分解后的U,Σ,VU,Σ,V這三個矩陣呢？

　　如果我們將A的轉置和A做矩陣乘法，那么會得到n×n的一個方陣A^TA。既然A^TA是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：(A^TA)v_i=λ_iv_i

　　這樣我們就可以得到矩陣A^TA的n個特征值和對應的n個特征向量v了。將A^TA的所有特征向量張成一個n×n的矩陣V，就是我們SVD公式里面的V矩陣了。一般我們將V中的每個特征向量叫做A的右奇異向量。

　　如果我們將A和A的轉置做矩陣乘法，那么會得到m×m的一個方陣AA^T。既然AA^T是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：(AA^T)v_i=λ_iv_i　

　　這樣我們就可以得到矩陣AA^T的m個特征值和對應的m個特征向量u了。將AA^T的所有特征向量張成一個m×m的矩陣U，就是我們SVD公式里面的U矩陣了。一般我們將U中的每個特征向量叫做A的左奇異向量。

　　U和V我們都求出來了，現在就剩下奇異值矩陣Σ沒有求出了。由於Σ除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值σ就可以了。

　　在式子：A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i中，我們可以求出每個奇異值，進而求出奇異值矩陣Σ。A^TA的特征向量組成的就是SVD的V矩陣，而AA^T的特征向量組成的就是我們SVD的U矩陣，可以從V矩陣的證明為例：

A=UΣV^T⇒A^T=VΣ^TU^T⇒A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ²V^T，這個式子證明使用了U^TU=I，Σ^TΣ=Σ²。可以看出A^TA的特征向量組成的的確就是我們SVD中的V矩陣。類似的方法可以得到AA^T的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣。

進一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等於奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關系：σi=λi^-2，這樣也就是說，我們可以不用σi=Avi/uiσi=Avi/ui來計算奇異值，也可以通過求出ATAATA的特征值取平方根來求奇異值。

SVD計算舉例

　　這里我們用一個簡單的例子來說明矩陣是如何進行奇異值分解的。我們的矩陣A定義為：

　　我們首先求出A^TA和AA^T：

　　

　　接着求 A^TA的特征值和特征向量：

　　

　　接着求AA^T的特征值和特征向量：

　　

　　利用 Avⁱ=σⁱuⁱ,i=1,2求奇異值：

　　

　  當然，我們也可以用σ_i=λ_i^-2直接求出奇異值為3^-2和1.　最終得到A的奇異值分解為：

　　

SVD的一些性質　

　　對於奇異值,它跟我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：A_m×n=U_m×mΣ_m×nV^T_n×n≈U_m×kΣ_k×kV^T_k×n其中k要比n小很多，也就是一個大的矩陣A可以用三個小的矩陣U_m×k,Σ_k×k,V^T_k×n來表示。如下圖所示，現在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

由於這個重要的性質，SVD可以用於PCA降維，來做數據壓縮和去噪。也可以用於推薦算法，將用戶和喜好對應的矩陣做特征分解，進而得到隱含的用戶需求來做推薦。同時也可以用於NLP中的算法，比如潛在語義索引（LSI）。下面我們就對SVD用於PCA降維做一個介紹。

SVD用於PCA

　在主成分分析（PCA）原理總結中，我們講到要用PCA降維，需要找到樣本協方差矩陣XTXXTX的最大的d個特征向量，然后用這最大的d個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維。可以看出，在這個過程中需要先求出協方差矩陣X^TX，當樣本數多樣本特征數也多的時候，這個計算量是很大的。

　注意到我們的SVD也可以得到協方差矩陣X^TX最大的d個特征向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現算法可以不求先求出協方差矩陣X^TX，也能求出我們的右奇異矩陣VV。也就是說，我們的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的實現就是用的SVD，而不是我們我們認為的暴力特征分解。

　另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？假設我們的樣本是m×n的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣XX^T最大的d個特征向量張成的m×d維矩陣U，則我們如果進行如下處理：X^′_d×n=U^T_d×mX_m×n。可以得到一個d×n的矩陣X‘,這個矩陣和我們原來的m×n維樣本矩陣X相比，行數從m減到了d，可見對行數進行了壓縮。也就是說，左奇異矩陣可以用於行數的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用於列數即特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。