奇異值分解（SVD）與在降維中的應用

　　奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是在機器學習領域廣泛應用的算法，它不光可以用於降維算法中的特征分解，還可以用於推薦系統，以及自然語言處理等領域。是很多機器學習算法的基石。本文就對SVD的原理做一個總結，並討論在在PCA降維算法中是如何運用運用SVD的。

1. 特征值和特征向量

　　特征值和特征向量的定義如下：

　　Ax=λx

　　其中A是一個 n×n的矩陣，x是一個n維向量，則我們說λ是矩陣A的一個特征值，而x是矩陣A的特征值λ所對應的特征向量。

　　求出特征值和特征向量有什么好處呢？ 就是我們可以將矩陣A特征分解。如果我們求出了矩陣A的n個特征值λ1≤λ2≤...≤λn,以及這n個特征值所對應的特征向量{w1,w2,...wn}，那么矩陣A就可以用下式的特征分解表示：A=WΣW⁻¹

　　其中W是這n個特征向量所張成的n×n維矩陣，而Σ為這n個特征值為主對角線的n×n維矩陣。

　　一般我們會把W的這n個特征向量標准化，即滿足||wi||²=1, 或者說wi^Twi=1，此時W的n個特征向量為標准正交基，滿足W^TW=I，即W^T=W⁻¹, 也就是說W為酉矩陣。

　　這樣我們的特征分解表達式可以寫成： A=WΣW^T 

　　注意到要進行特征分解，矩陣A必須為方陣。那么如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進行分解嗎？答案是可以，此時我們的SVD登場了。

2.  SVD的定義

　　SVD也是對矩陣進行分解，但是和特征分解不同，SVD並不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個m×n的矩陣，那么我們定義矩陣A的SVD為：A=UΣV^T

　　其中U是一個m×m的矩陣，Σ是一個m×n的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值，V是一個n×n的矩陣。U和V都是酉矩陣，即滿足U^TU=I,V^TV=I。下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：

　　那么我們如何求出SVD分解后的U,Σ,V這三個矩陣呢？

　　如果我們將A的轉置和A做矩陣乘法，那么會得到n×n的一個方陣A^TA。既然A^TA是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足：(A^TA)v_i=λ_iv_i

　　這樣我們就可以得到矩陣A^TA的n個特征值和對應的n個特征向量v了。將A^TA的所有特征向量張成一個n×n的矩陣V，就是我們SVD公式里面的V矩陣了。一般我們將V中的每個特征向量叫做A的右奇異向量。

　　如果我們將A和A的轉置做矩陣乘法，那么會得到m×m的一個方陣AA^T。既然AA^T是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足：(AA^T)u_i=λ_iu_i

　　這樣我們就可以得到矩陣AA^T的m個特征值和對應的m個特征向量u了。將AA^T的所有特征向量張成一個m×m的矩陣U，就是我們SVD公式里面的U矩陣了。一般我們將U中的每個特征向量叫做A的左奇異向量。

　　U和V都求出來了，現在就剩下奇異值矩陣Σ沒有求出了。由於Σ除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值σ就可以了。我們注意到:

　　A=UΣV^T ⇒ AV=UΣV^TV ⇒ AV=UΣ ⇒ Av_i=σ_iu_i ⇒ σ_i=Av_i/u_i

  　 這樣我們可以求出我們的每個奇異值，進而求出奇異值矩陣Σ。

　　上面還有一個問題沒有講，就是我們說A^TA的特征向量組成的就是我們SVD中的V矩陣，而AA^T的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣，這有什么根據嗎？這個其實很容易證明，我們以V矩陣的證明為例。A=UΣV^T ⇒ A^T=VΣ^TU^T ⇒ A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ²V^T

　　上式證明使用了:U^TU=I,Σ^TΣ=Σ²。U^TU=I,Σ^TΣ=Σ²。可以看出A^TA的特征向量組成的就是SVD中的V矩陣。類似的方法可以得到AA^T的特征向量組成的就是SVD中的U矩陣。

　　進一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等於奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關系：σ_i=√λ_i

　　這樣也就是說，我們可以不用σ_i=Av_i/u_i來計算奇異值，也可以通過求出A^TA的特征值取平方根來求奇異值。

3. SVD的一些性質

　　上面幾節我們對SVD的定義和計算做了詳細的描述，似乎看不出我們費這么大的力氣做SVD有什么好處。那么SVD有什么重要的性質值得我們注意呢？

　　對於奇異值,它跟我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：A_m×n=U_m×mΣ_m×nV^T_n×n≈U_m×kΣ_k×kV^T_k×n。其中k要比n小很多，也就是一個大的矩陣A可以用三個小的矩陣U_m×k,Σ_k×k,V^T_k×n來表示。如下圖所示，現在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

　　由於這個重要的性質，SVD可以用於PCA降維，來做數據壓縮和去噪。也可以用於推薦算法，將用戶和喜好對應的矩陣做特征分解，進而得到隱含的用戶需求來做推薦。同時也可以用於NLP中的算法，比如潛在語義索引（LSI）。下面我們就對SVD用於PCA降維做一個介紹。

4. SVD用於PCA

　　在主成分分析（PCA）中，要用PCA降維，需要找到樣本協方差矩陣X^TX的最大的d個特征向量，然后用這最大的d個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維。可以看出，在這個過程中需要先求出協方差矩陣X^TX，當樣本數多、樣本特征數也多的時候，這個計算量是很大的。

　　注意到我們的SVD也可以得到協方差矩陣X^TX最大的d個特征向量組成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現算法可以不求先求出協方差矩陣X^TX，也能求出我們的右奇異矩陣V。也就是說，我們的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的實現就是用的SVD，而不是我們我們認為的暴力特征分解。

　　另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？

　　假設我們的樣本是m×n的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣XX^T最大的d個特征向量組成的m×d維矩陣U，則我們如果進行如下處理：X′_d×n=U^T_d×mX_m×n

　　可以得到一個d×n的矩陣X‘,這個矩陣和我們原來的m×n維樣本矩陣X相比，行數從m減到了k，可見對行數進行了壓縮。也就是說，左奇異矩陣可以用於行數的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用於列數即特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。　　　　

5. SVD小結　

　　SVD作為一個很基本的算法，在很多機器學習算法中都有它的身影，特別是在現在的大數據時代，由於SVD可以實現並行化，因此更是大展身手。SVD的原理不難，只要有基本的線性代數知識就可以理解，實現也很簡單因此值得仔細的研究。當然，SVD的缺點是分解出的矩陣解釋性往往不強，有點黑盒子的味道，不過這不影響它的使用。

文章內容轉載自：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html