SVD（奇异值分解）与在PCA降维中的使用

本文大部分内容转自：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

　　奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。

SVD的定义

　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：A=UΣV^T，其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，

除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足U^TU=I,V^TV=I U^TU=I,V^TV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,VU,Σ,V这三个矩阵呢？

　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵A^TA。既然A^TA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：(A^TA)v_i=λ_iv_i

　　这样我们就可以得到矩阵A^TA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将A^TA的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

　　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵AA^T。既然AA^T是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：(AA^T)v_i=λ_iv_i　

　　这样我们就可以得到矩阵AA^T的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AA^T的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

　　在式子：A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i中，我们可以求出每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。A^TA的特征向量组成的就是SVD的V矩阵，而AA^T的特征向量组成的就是我们SVD的U矩阵，可以从V矩阵的证明为例：

A=UΣV^T⇒A^T=VΣ^TU^T⇒A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ²V^T，这个式子证明使用了U^TU=I，Σ^TΣ=Σ²。可以看出A^TA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到AA^T的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：σi=λi^-2，这样也就是说，我们可以不用σi=Avi/uiσi=Avi/ui来计算奇异值，也可以通过求出ATAATA的特征值取平方根来求奇异值。

SVD计算举例

　　这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

　　我们首先求出A^TA和AA^T：

　　

　　接着求 A^TA的特征值和特征向量：

　　

　　接着求AA^T的特征值和特征向量：

　　

　　利用 Avⁱ=σⁱuⁱ,i=1,2求奇异值：

　　

　  当然，我们也可以用σ_i=λ_i^-2直接求出奇异值为3^-2和1.　最终得到A的奇异值分解为：

　　

SVD的一些性质　

　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：A_m×n=U_m×mΣ_m×nV^T_n×n≈U_m×kΣ_k×kV^T_k×n其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵U_m×k,Σ_k×k,V^T_k×n来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

SVD用于PCA

　在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTXXTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵X^TX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵X^TX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵X^TX，也能求出我们的右奇异矩阵VV。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XX^T最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：X^′_d×n=U^T_d×mX_m×n。可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。