無向圖是否是無環連通圖的判別

這是2020的最后一篇博客，對今天數據結構小測的一道題總結一下。

題目：給定頂點個數n和無向圖的鄰接矩陣bool m[graph_size][graph_size]，寫出判斷是否為無環連通圖的函數bool Isconnectedacyclic()。

上午寫的時候只想到深搜/廣搜，下午聽老師講了一下，想到了其他方法，這里總結三種，如有錯誤請指正。

 

1.深搜/廣搜

本來我是打算寫深搜的，但由於給定的函數沒有參數，懶得再寫一個函數了。深搜應該是比較直接的方法，這里不多贅述。

而廣搜比深搜麻煩的一點是新加入的點要考慮父節點，從而避免重復訪問。這里有兩種方法：一是對新加入的點記錄父節點，在對邊遍歷時遇到父節點則跳過；二是利用鄰接矩陣對邊訪問的特性，直接刪掉用過的邊和對稱的邊。下面給出第二種的代碼：

bool Isconnectedacyclic()
{
    vector<bool>vit(n,false);
    queue<int>que;
    bool flag=false;
    que.push(0);
    vit[0]=true;
    while(!que.empty())
    {
        int p=que.front();
        que.pop();
        for(int i=0;i<graph_size;++i)
        {
            if(m[p][i])
            {
                if(vit[i])flag=true;
                else
                {
                    vit[i]=true;
                    que.push(i);
                }
                m[p][i]=m[i][p]=false; //刪邊
            }
        }
    }
    if(flag)return false; //有回路
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(!vit[i])return false; //非聯通圖
    }
    return true;
}

 

2.並查集：

其實跟kruskal算法基本一樣，對所有的邊遍歷，如果兩個頂點在同一集合說明有環，否則將他們合並。如果有兩個以上連通分支說明非連通圖。

下面是代碼：

 

 1 int f[n];
 2 int find(int k)  3 {  4     if(f[k]==k)return k;  5     return f[k]=find(f[k]);  6 }  7 bool Isconnectedacyclic()  8 {  9     for(int i=0;i<n;++i)f[i]=i; 10     for(int i=0;i<graph_size;++i) 11  { 12         for(int j=i+1;j<graph_size;++j) 13  { 14             if(m[i][j]) 15  { 16                 int fi=find(i),fj=find(j); 17                 if(fi==fj)return false; 18                 f[fi]=fj; 19  } 20  } 21  } 22     int cnt=0; 23     for(int i=0;i<n;++i) 24  { 25         if(f[i]==i)cnt++; 26  } 27     return cnt==1;
}

 

 

3.樹的性質：

寫的時候沒有想起（好不應該），一個無環連通圖正是一棵樹。根據樹的性質，邊數m=頂點數n -1，我們統計總共有多少條邊，如果m<n-1說明非連通；如果m>n-1說明必定有環；如果m==n-1，還要對圖進行一次遍歷，判斷是否為連通圖。

以下是代碼：

 

bool Isconnectedacyclic()
{
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<graph_size;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<graph_size;++j)
        {
            if(m[i][j])cnt++;
        }
    }
    if(cnt!=n-1)return false;
    vector<bool>vit(n,false);
    queue<int>que;
    que.push(0);
    vit[0]=true;
    while(!que.empty())
    {
        int p=que.front();
        que.pop();
        for(int i=0;i<graph_size;++i)
        {
            if(m[p][i]&&!vit[i])
            {
                vit[i]=true;
                que.push(i);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(!vit[i])return false;
    }
    return true;
}