一、二分查找算法(非遞歸)
1，遞歸版二分查找算法
2，非遞歸二分查找算法介紹
源碼：二分查找(非遞歸)
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二分查找法只適用於從有序的數列中進行查找(比如數字和字母等)，將數列排序后再進行查找
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二分查找法的運行時間為對數時間 O(㏒₂n) ，即查找到需要的目標位置最多只需要㏒₂n步
3，代碼實現
public static int search(int[] arr, int val) { int left = 0; int right = arr.length - 1; while (left <= right) { int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == val) { return mid; } else if (arr[mid] > val) { right = mid - 1; } else { left = mid + 1; } } return -1; }
二、分治算法
源碼：漢諾塔
1，分治算法介紹
分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。
分治算法求解的經典問題：二分搜索、大整數乘法、歸並排序、快排、漢諾塔等
2，分治算法基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
- 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題
- 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
- 合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
3，漢諾塔
a)介紹
如下圖所示，從左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子上面有從小疊到大的n個圓盤，現要求將A柱子上的圓盤移到C柱子上去，期間只有一個原則：一次只能移到一個盤子且大盤子不能在小盤子上面，求移動的步驟和移動的次數
b)思路
- 如果只有一個盤時，A -> C
- 如果有n(大於1)個盤時
- 把n-1個盤 A -> B (借助C)
- 把第n個盤 A -> C
- 把n-1個盤 B -> C (借助A)
c)代碼實現
/** * 移動盤子 * @param num 一共有多少個盤子 * @param a 開始的柱子 * @param b 輔助的柱子 * @param c 目標柱子 */ public static void hanoitower(int num, char a, char b, char c) { if (num == 1) { System.out.println("第1個盤為: " + a + " -> " + c); } else { hanoitower(num - 1, a, c, b); System.out.println("第" + num + "個盤為: " + a + " -> " + c); hanoitower(num - 1, b, a, c); } }
三、動態規划
源碼：背包問題
1，介紹
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動態規划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：將大問題划分為小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的處理算法
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動態規划算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。
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與分治法不同的是，適合於用動態規划求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。 ( 即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解 )
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動態規划可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解
2，背包問題
背包問題主要是指一個給定容量的背包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入背包使物品的價值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每種物品都有無限件可用)
3，案例
背包問題：有一個背包，容量為 4 磅 ， 現有如下物品
- 要求達到的目標為裝入的背包的總價值最大，並且重量不超出
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要求裝入的物品不能重復
4，案例分析與求解
代碼實現
/** * 求解01背包問題 * * @param v 商品的價值 * @param w 商品的重量(體積) * @param c 商品的最大容量 */ public static void knapsackDim(int[] v, int[] w, int c) { //初始化二維數組，行表示商品的體積w 列表示容量從0->c int size = w.length; int[][] dp = new int[size + 1][c + 1]; for (int i = 1; i <= size; i++) { for (int j = 0; j <= c; j++) { //當前商品的體積 大於 容量j 時 直接取上一行的數據 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (w[i-1] <= j) { //①dp[i - 1][j - w[i - 1]]為上一行的當前可用體積-當前商品體積 得到減去當前商品重量之后的最大價值 + v[i-1] //②dp[i][j]實則為上一行的數據 與①直接比較大小 dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], v[i - 1] + dp[i - 1][j - w[i - 1]]); } } } }
優化為一維數組
/** * 背包問題優化 使用一維數組 * * @param v 商品的價值 * @param w 商品的重量(體積) * @param c 商品的最大容量 */ public static void knapsackSingle(int[] v, int[] w, int c) { int[] dp = new int[c + 1]; //第一次初始化dp for (int i = 0; i < c + 1; i++) { dp[i] = w[0] > i ? 0 : v[0]; } for (int i = 1; i < w.length; i++) { //防止前面數據被覆蓋，從后往前進行遍歷 for (int j = c; j >=0; j--) { if (w[i] <= j) { dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]); } } } }
四、KMP算法
1，暴力匹配算法
源碼：暴力匹配
a)思路
如果用暴力匹配的思路，並假設現在 str1 匹配到 i 位置，子串 str2 匹配到 j 位置，則有: 1) 如果當前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），則 i++，j++，繼續匹配下一個字符 2) 如果失配（即 str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相當於每次匹配失敗時，i 回溯，j 被置為 0。 3) 用暴力方法解決的話就會有大量的回溯，每次只移動一位，若是不匹配，移動到下一位接着判斷，浪費了大量 的時間。
b)代碼實現
/** * 暴力匹配 * @param str1 原始字符串 * @param str2 匹配字符串 */ public static int violenceMatch(String str1,String str2) { //表示字符串str2的匹配的索引位置 int j; for (int i = 0; i < str1.length();) { j = 0; while (i < str1.length() && j < str2.length() && str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) { i++; j++; } //將j匹配到最后一個字符 if (j==str2.length()) { return i-j; } i = i - j + 1; } return -1; }
2，KMP算法
源碼：KMP算法
a)思路
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尋找最長前綴后綴“ABCDABD”
- 獲取next數組
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- 將next 數組相當於“最大長度值” 整體向右移動一位，然后初始值賦為-1
- 若p[k] == p[j]，則next[j + 1 ] = next [j] + 1 = k + 1；
- 若p[k ] ≠ p[j]，如果此時p[ next[k] ] == p[j ]，則next[ j + 1 ] = next[k] + 1，否則繼續遞歸前綴索引k = next[k]，而后重復此過程。
- 解釋為： 如下圖所示，假定給定模式串ABCDABCE，且已知next [j] = k（相當於“p0 pk-1” = “pj-k pj-1” = AB，可以看出k為2），現要求next [j + 1]等於多少？因為pk = pj = C，所以next[j + 1] = next[j] + 1 = k + 1（可以看出next[j + 1] = 3）。代表字符E前的模式串中，有長度k+1 的相同前綴后綴。
- 但如果pk != pj 呢？說明“p0 pk-1 pk” ≠ “pj-k pj-1 pj”。換言之，當pk != pj后，字符E前有多大長度的相同前綴后綴呢？很明顯，因為C不同於D，所以ABC 跟 ABD不相同，即字符E前的模式串沒有長度為k+1的相同前綴后綴，也就不能再簡單的令：next[j + 1] = next[j] + 1 。所以，咱們只能去尋找長度更短一點的相同前綴后綴。
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/** * 求出一個字符數組的next數組 * * @param p 字符數組 * @return next數組 */ public static int[] getNextArray(char[] p) { int[] next = new int[p.length]; next[0] = -1; int k = -1; int j = 0; while (j < p.length - 1) { //p[k]表示前綴 p[j]表示后綴 if (k == -1 || p[j] == p[k]) { // k++; // j++; next[++j] = ++k; } else { k = next[k]; } } return next; }
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- 基於next數組開始進行匹配
- P[0]跟S[0]匹配失敗。所以執行“如果j != -1，且當前字符匹配失敗（即S[i] != P[j]），則令 i 不變，j = next[j]”，所以j = -1，故轉而執行“如果j = -1，或者當前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]繼續跟S[1]匹配。
- P[0]跟S[1]又失配，j再次等於-1，i、j繼續自增，從而P[0]跟S[2]匹配。
- 直到P[0]跟S[4]匹配成功，開始執行此條指令的后半段：“如果j = -1，或者當前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”。
- P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, ...，直到當匹配到P[6]處的字符D時失配（即S[10] != P[6]），由於P[6]處的D對應的next 值為2，所以下一步用P[2]處的字符C繼續跟S[10]匹配，相當於向右移動：j - next[j] = 6 - 2 =4 位。
- 向右移動4位后，P[2]處的C再次失配，由於C對應的next值為0，所以下一步用P[0]處的字符繼續跟S[10]匹配，相當於向右移動：j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。
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移動兩位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位。
- P[6]處的D再次失配，因為P[6]對應的next值為2，故下一步用P[2]字符C繼續跟文本串匹配，相當於模式串向右移動 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。
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匹配成功，過程結束。
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匹配過程一模一樣。也從側面佐證了，next 數組確實是只要將各個最大前綴后綴的公共元素的長度值右移一位，且把初值賦為-1 即可。
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/** * 對主串s和模式串t進行KMP模式匹配 * * @param s 主串 * @param t 模式串 * @return 若匹配成功，返回t在s中的位置（第一個相同字符對應的位置），若匹配失敗，返回-1 */ public static int kmpMatch(String s, String t) { char[] s_arr = s.toCharArray(); char[] t_arr = t.toCharArray(); int[] next = getNextArray(t_arr); int i = 0, j = 0; while (i < s_arr.length && j < t_arr.length) { if (j == -1 || s_arr[i] == t_arr[j]) { i++; j++; } else j = next[j]; } if (j == t_arr.length) return i - j; else return -1; }
五、貪心算法
1，應用場景
假設存在下面需要付費的廣播台，以及廣播台信號可以覆蓋的地區。 如何選擇最少的廣播台，讓所有的地區都可以接收到信號。
2，貪心算法介紹
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貪婪算法(貪心算法)是指在對問題進行求解時，在每一步選擇中都采取最好或者最優(即最有利)的選擇，從而希望能夠導致結果是最好或者最優的算法
- 貪婪算法所得到的結果不一定是最優的結果(有時候會是最優解)，但是都是相對近似(接近)最優解的結果
3，問題求解
a）思路分析
- 使用窮舉法實現,列出每個可能的廣播台的集合，這被稱為冪集。假設總的有 n 個廣播台，則廣播台的組合總共有2ⁿ -1
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使用貪婪算法，效率高
- 遍歷所有的廣播電台，找到一個覆蓋了最多未覆蓋的地區的電台(采用retainAll方法，將當前集合與選擇集合的交集賦值給當前集合)
- 將這個電台加入到集合中，去除該電台覆蓋的地區
- 重復以上，直至覆蓋所有的地區
b）代碼實現
public static void main(String[] args) { Map<String, Set<String>> map = new HashMap<>(); Set<String> set1 = new HashSet<>(); set1.add("北京"); set1.add("上海"); set1.add("天津"); Set<String> set2 = new HashSet<>(); set2.add("廣州"); set2.add("北京"); set2.add("深圳"); Set<String> set3 = new HashSet<>(); set3.add("成都"); set3.add("上海"); set3.add("杭州"); Set<String> set4 = new HashSet<>(); set4.add("上海"); set4.add("天津"); Set<String> set5 = new HashSet<>(); set5.add("杭州"); set5.add("大連"); map.put("K1", set1); map.put("K2", set2); map.put("K3", set3); map.put("K4", set4); map.put("K5", set5); Set<String> allAreas = new HashSet<>(); allAreas.addAll(set1); allAreas.addAll(set2); allAreas.addAll(set3); allAreas.addAll(set4); allAreas.addAll(set5); //存儲選擇的key List<String> selects = new ArrayList<>(); //定義此時最大的key String maxKey; //臨時存儲的set集合 Set<String> tempSet = new HashSet<>(); //如果allArea不為空則一直刪除 while (allAreas.size() != 0) { //清空臨時set tempSet.clear(); // maxSize = 0; maxKey = null; for (Map.Entry<String, Set<String>> entry : map.entrySet()) { tempSet = entry.getValue(); tempSet.retainAll(allAreas); if (tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() > map.get(maxKey).size())) { maxKey = entry.getKey(); } } if (maxKey != null) { tempSet = map.get(maxKey); selects.add(maxKey); allAreas.removeAll(tempSet); //此時可以將對應的key去除，這樣能在遍歷map的時候提高效率 map.remove(maxKey); } } System.out.println(selects); }