1.應用場景-背包問題
背包問題：有一個背包，容量為 4 磅 ， 現有如下物品
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要求達到的目標為裝入的背包的總價值最大，並且重量不超出
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要求裝入的物品不能重復
2. 動態規划算法介紹
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動態規划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：將 大問題划分為小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的處理算法
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動態規划算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解
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與分治法不同的是，適合於用動態規划求解的問題，經分解得到 子問題往往不是互相獨立的。 ( 即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解 )
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動態規划可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解
3.動態規划算法最佳實踐-背包問題
背包問題：有一個背包，容量為 4 磅 ， 現有如下物品
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要求達到的目標為裝入的背包的總價值最大，並且重量不超出
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要求裝入的物品不能重復
思路分析和圖解
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背包問題主要是指一個給定容量的背包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入背包使物品的價值最大。其中又分 01 背包和 完全背包(完全背包指的是：每種物品都有無限件可用)
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這里的問題屬於 01 背包，即每個物品最多放一個。而無限背包可以轉化為 01 背包。
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算法的主要思想，利用動態規划來解決。每次遍歷到的第 i 個物品，根據 w[i]和 v[i]來確定是否需要將該物品放入背包中。即對於給定的 n 個物品，設 v[i]、w[i]分別為第 i 個物品的價值和重量，C 為背包的容量。再令 v[i][j]表示在前 i 個物品中能夠裝入容量為 j 的背包中的最大價值。則我們有下面的結果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 當 w[i]> j 時：v[i][j]=v[i-1][j] // 當准備加入新增的商品的容量大於 當前背包的容量時，就直接使用上一個單元格的裝入策略
(3) 當 j>=w[i]時： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 當 准備加入的新增的商品的容量小於等於當前背包的容量,
// 裝入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一個單元格的裝入的最大值
v[i] : 表示當前商品的價值
v[i-1][j-w[i]] ： 裝入 i-1 商品，到剩余空間 j-w[i]的最大值
當 j>=w[i]時： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
- 圖解的分析
4.動態規划-背包問題的代碼實現
- 代碼實現(韓老師)
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
// TODOAuto-generated method stub
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的價值 這里 val[i] 就是前面講的 v[i]
int m = 4; //背包的容量
int n = val.length; //物品的個數
//創建二維數組，
//v[i][j] 表示在前 i 個物品中能夠裝入容量為 j 的背包中的最大價值
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//為了記錄放入商品的情況，我們定一個二維數組
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列, 這里在本程序中，可以不去處理，因為默認就是 0
for(int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; //將第一列設置為 0
}
for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; //將第一行設置 0
}
//根據前面得到公式來動態規划處理
for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不處理第一行 i 是從 1 開始的
for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不處理第一列, j 是從 1 開始的
//公式
if(w[i-1]> j) { // 因為我們程序 i 是從 1 開始的，因此原來公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
v[i][j]=v[i-1][j];
} else {
//說明:
//因為我們的 i 從 1 開始的， 因此公式需要調整成
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
//為了記錄商品存放到背包的情況，我們不能直接的使用上面的公式，需要使用 if-else 來體現公式
if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把當前的情況記錄到 path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
//輸出一下 v 看看目前的情況
for(int i =0; i < v.length;i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
//輸出最后我們是放入的哪些商品
//遍歷 path, 這樣輸出會把所有的放入情況都得到, 其實我們只需要最后的放入
// for(int i = 0; i < path.length; i++) {
// for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
// if(path[i][j] == 1) {
// System.out.printf("第%d 個商品放入到背包\n", i);
// }
// }
// }
//動腦筋
int i = path.length - 1; //行的最大下標
int j = path[0].length - 1; //列的最大下標
while(i > 0 && j > 0 ) { //從 path 的最后開始找
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d 個商品放入到背包\n", i);
j -= w[i-1]; //w[i-1]
}
i--;
}
}
}
- 代碼實現(自己)
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
/**
* 動態規划-背包問題的代碼實現
*/
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
Product[] products = new Product[3];
products[0] = new Product("G", 1, 1500);
products[1] = new Product("S", 4, 3000);
products[2] = new Product("L", 3, 2000);
//物品的重量
//int[] w = {1, 4, 3};
//物品的價值 這里 val[i] 就是前面講的 v[i]
//int[] val = {1500, 3000, 2000};
//物品的個數
int n = products.length;
//背包的容量
int m = 4;
//創建二維數組，
//v[i][j] 表示在前 i 個物品中能夠裝入容量為 j 的背包中的最大價值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
List<Product>[][] lists = new ArrayList[n + 1][m + 1];
//初始化第一行和第一列, 這里在本程序中，可以不去處理，因為默認就是 0
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; //將第一列設置為 0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; //將第一行設置 0
}
//根據前面得到公式來動態規划處理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { //不處理第一行 i 是從 1 開始的
for (int j = 1; j < v[i].length; j++) {//不處理第一列, j 是從 1 開始的
//公式
if (products[i - 1].weight > j) { // 因為我們程序 i 是從 1 開始的，因此原來公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
v[i][j] = v[i - 1][j];
lists[i][j] = lists[i - 1][j];
} else {
//說明:
//因為我們的 i 從 1 開始的， 因此公式需要調整成
int pre_v = v[i - 1][j];
int cur_v = products[i - 1].value + v[i - 1][j - products[i - 1].weight];
List<Product> productListPre = lists[i - 1][j - products[i - 1].weight];
if (cur_v > pre_v) {
v[i][j] = cur_v;
if (lists[i][j] == null) {
lists[i][j] = new ArrayList<>();
}
if (productListPre != null) {
lists[i][j].addAll(productListPre);
}
lists[i][j].add(products[i - 1]);
} else {
v[i][j] = pre_v;
lists[i][j] = productListPre;
}
}
}
}
//遍歷
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
System.out.println("==========");
//遍歷
for (int i = 0; i < lists.length; i++) {
for (int j = 0; j < lists[i].length; j++) {
System.out.print(lists[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
System.out.println("==========");
List<Sum> sumList = showResult(lists);
Collections.sort(sumList);
System.out.println(sumList);
}
public static List<Sum> showResult(List<Product>[][] lists) {
List<Sum> sumList = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < lists.length; i++) {
for (int j = 0; j < lists[i].length; j++) {
if (lists[i][j] != null) {
int sum = 0;
for (int k = 0; k < lists[i][j].size(); k++) {
sum += lists[i][j].get(k).value;
}
sumList.add(new Sum(sum, lists[i][j]));
}
}
}
return sumList;
}
static class Sum implements Comparable<Sum> {
public int sum;
public List<Product> products;
public Sum(int sum, List<Product> products) {
this.sum = sum;
this.products = products;
}
@Override
public int compareTo(Sum o) {
return o.sum - sum;
}
@Override
public String toString() {
return "Sum{" +
"sum=" + sum +
", products=" + products +
'}';
}
}
static class Product {
public String name;
public int weight;
public int value;
public Product(String name, int weight, int value) {
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Product{" +
"name='" + name + '\'' +
", weight=" + weight +
", value=" + value +
'}';
}
}
}
- 輸出結果
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
==========
null null null null null
null [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}]
null [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='S', weight=4, value=3000}]
null [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}] [Product{name='L', weight=3, value=2000}] [Product{name='G', weight=1, value=1500}, Product{name='L', weight=3, value=2000}]
==========
[Sum{sum=3500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}, Product{name='L', weight=3, value=2000}]}, Sum{sum=3000, products=[Product{name='S', weight=4, value=3000}]}, Sum{sum=2000, products=[Product{name='L', weight=3, value=2000}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}, Sum{sum=1500, products=[Product{name='G', weight=1, value=1500}]}]