[LeetCode] 974. Subarray Sums Divisible by K 子數組數字之和可被K整除

Given an array A of integers, return the number of (contiguous, non-empty) subarrays that have a sum divisible by K.

Example 1:

Input: A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
Output: 7
Explanation: There are 7 subarrays with a sum divisible by K = 5:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

Note:

1. 1 <= A.length <= 30000
2. -10000 <= A[i] <= 10000
3. 2 <= K <= 10000

這道題給了一個數組，讓返回數組的數字之和可以被K整除的非空子數組的個數。博主最開始的思路是建立累加和數組，然后就可以快速的知道任意一個子數組的數字和，從而可以判斷其是否可以被K整除。但是這個方法被 OJ 殘忍拒絕，說是超時 TLE 了，看來需要進一步的將平方級的復雜度優化到線性復雜度才行。說到查詢的線性復雜度，那么 HashMap 是當仁不讓的，可是這里該如何利用它呢。這里首先要搞懂一個規律，若子數組 [0, i] 的數字之和跟子數組 [0, j] 的數字之和對K取余相同的話，假設這里 j > i，那么子數組 [i+1, j] 的數字之和一定是可以整除K的。這里就不證明了，舉個例子吧，比如 [1, 2, 3, 4]，K=5，那么 [1] 之和除以5余1，[1, 2, 3] 之和除以5也余1，則 [2, 3] 之和一定可以整除5。有了這些知識，就可以建立數組和除以K的余數跟其出現次數之間的映射了，注意由於數組中可能出現負數，而我們並不希望出現負余數，所以先對K余數，然后再加個K，再對K取余數，這樣一定可以得到正余數。在聲明了 HashMap 后，初始化時要把 0 -> 1 先放進去，原因在后面會講。同時新建變量 sum，用來保存當前的數組和對K的余數，遍歷數組A中的數字 num，根據之前說的，num 先對K取余，然后再加上K，之和再加上 sum，再對K取余。此時將 sum 對映射值加到結果 res 中，這里就有兩種情況，一種是 sum 並不存在，這樣映射值默認是0，另一種是 sum 存在，則根據之前的規律，一定可以找到相同數目的子數組可以整除K，所以將映射值加入結果 res，同時要將 sum 的映射值自增1。這里解釋一下為啥剛開始初始化0的映射值是1，因為若 sum 正好是0了，則當前的數組就是符合的題意的，若0的映射值不是1，則這個數組就無法被加入到結果 res 中，參見代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& A, int K) {
    	int res = 0, sum = 0;
        unordered_map<int, int> m{{0, 1}};
        for (int num : A) {
        	sum = (sum + num % K + K) % K;
        	res += m[sum];
        	++m[sum];
        }
        return res;
    }
};

由於K的余數個數是確定的，所以也可以用個數組來代替 HashMap，其他的部分沒啥區別，解題思想也和上面完全一樣，參見代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& A, int K) {
    	int res = 0, sum = 0;
        vector<int> cnt(K);
        cnt[0] = 1;
        for (int num : A) {
        	sum = (sum + num % K + K) % K;
        	res += cnt[sum];
        	++cnt[sum];
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/974

類似題目：

Subarray Sum Equals K

Make Sum Divisible by P

參考資料：

https://leetcode.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k/

https://leetcode.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k/discuss/217985/JavaC%2B%2BPython-Prefix-Sum

https://leetcode.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k/discuss/217980/Java-O(N)-with-HashMap-and-prefix-Sum

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