為什么要用等效基帶信號？

1.1 單邊帶信號與 IQ 調制

1.1.1 單邊帶信號的產生

雙邊帶信號占用帶寬比較多，造成很大的浪費。假設雙邊帶信號的頻譜為 \(S\left( \omega \right)\)，把兩倍的階躍信號與基帶信號的頻譜相乘，可以得到基帶的單邊帶信號：

\[{S_ + }\left( \omega \right) = 2S\left( \omega \right)u\left( \omega \right) \]

前面這個 2 的系數是為了使調制后的射頻信號形式更簡單。

對 \({S_ + }\left( \omega \right)\) 做傅里葉反變換，我們可以求出單邊帶基帶信號的時域形式：

\[{s_ + }\left( t \right) = s\left( t \right) + js\left( t \right) * \frac{1}{{\pi t}} \]

這里的證明用到了 \(2u\left( \omega \right) = 1 + Sgn\left( \omega \right)\)，式子 \(s\left( t \right) * \frac{1}{{\pi t}}\) 的運算是對 \(s\left( t \right)\) 的希爾伯特變換，記為 \(\hat s\left( t \right)\)。

這樣從雙邊帶基帶信號 \(s\left( t \right)\) 就可以通過以下方式得到一個單邊帶基帶信號：

\[{s_ + }\left( t \right) = s\left( t \right) + j\hat s\left( t \right) \]

1.1.2 單邊帶信號的發送

在通信原理中課本上是直接給出了單邊帶調制信號的表達式，但是沒有給過程。首先我們假設雙邊帶基帶信號 \(s\left( t \right) = {A_0}\cos \left( {{\omega _0}t} \right)\)，對這個信號進行載波調制，我們得到雙邊帶調制信號 \({s_{DSB}}\left( t \right)\)：

\[\begin{aligned} s_{D S B}(t) &=2 A_{0} \cos \left(\omega_{0} t\right) \cdot \cos \left(\omega_{c} t\right) \\ &=A_{0} \cos \left(\omega_{c}-\omega_{0}\right) t+A_{0} \cos \left(\omega_{c}+\omega_{0}\right) t \end{aligned} \]

而我們得到的單邊帶調制信號（以下邊帶為例）：

\[\begin{aligned}{s_{LSB}}\left( t \right) &= {A_0}\cos \left( {{\omega _c} - {\omega _0}} \right)t\\ & = {A_0}\cos \left( {{\omega _0}t} \right) \cdot \cos \left( {{\omega _c}t} \right) + {A_0}\sin \left( {{\omega _0}t} \right) \cdot \sin \left( {{\omega _c}t} \right)\\ & = s\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) + \hat s\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right)\end{aligned} \]

我們來看一下這個單邊帶調制信號實際上是怎么從單邊帶基帶信號得到的。

上一節我們得到單邊帶基帶信號：\({s_ + }\left( t \right) = s\left( t \right) + j\hat s\left( t \right)\)，從表達式上來看，這其實是個復數信號。然而在實際電路中，所有信號都是實數，如何表達一個復數信號呢？一個復數 \(x + jy\) 是和一個實數對 \(\left( {x,y} \right)\) 相對應，也就是說一個實數對就可以表達一個復數。

當我們用載波信號 \(\cos \left( {{\omega _c}t} \right)\) 與單邊帶基帶信號相乘后得到：

\[\begin{aligned} {s_{RF + }}\left( t \right) &= \left[ {s\left( t \right) + j\hat s\left( t \right)} \right]\cos \left( {{\omega _c}t} \right)\\ & = s\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) + j\hat s\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) \end{aligned} \]

雖然 \({s_{RF + }}\left( t \right)\) 是一個單邊帶已調信號（這個頻譜圖在上面有），但是他的實部和虛部其實都是雙邊帶信號，而且他們之間也沒有什么聯系。那么我們可以采用復指數信號為載波，得到一個單邊帶的已調信號，為了符號方便，我們仍用 \({s_{RF + }}\left( t \right)\) 表示：

\[\begin{aligned} s_{\mathrm{RF}+}(t) &=[s(t)+\mathrm{j} \hat{s}(t)] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{c} t} \\ &=[s(t)+\mathrm{j} \hat{s}(t)]\left[\cos \left(\omega_{c} t\right)+\mathrm{j} \sin \left(\omega_{c} t\right)\right] \\ &=s(t) \cos \left(\omega_{c} t\right)-\hat{s}(t) \sin \left(\omega_{c} t\right)+\mathrm{j}\left[\hat{s}(t) \cos \left(\omega_{c} t\right)+s(t) \sin \left(\omega_{c} t\right)\right] \end{aligned} \]

我們來看一下這個信號實部的頻譜圖：

這其實就是雙邊帶信號經過邊帶濾波后得到的上邊帶信號，即 \({s_{USB}}\left( t \right)\)。而虛部所含的信息和實部其實是一樣的，虛部部分其實就是下邊帶信號，即 \({s_{LSB}}\left( t \right)\)。

從頻譜上來看 \(s\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right)\) 是雙邊帶頻譜，而 \(s(t)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - \hat s(t)\sin \left( {{\omega _c}t} \right)\) 是單邊帶頻譜，這其實是因為單邊帶信號同時利用了載波的幅度和相位，而雙邊帶信號只利用了載波的幅度。或者等價地說，雙邊帶信號只利用了余弦分量，而單邊帶信號同時利用了正弦和余弦兩個正交分量。

這樣的話，我們就找到了單邊帶信號的發射方案，只要發射實部或者虛部就可以了，一般我們發射實部部分^[1]。

1.1.3 IQ調制

為了實現恰好將雙邊帶信號的一個邊帶消掉的目的，單邊帶信號的正弦和余弦分量要滿足希爾伯特變換的約束關系，如果不滿足，則信號占用的帶寬仍然和雙邊帶信號相同。

如果我們獨立地設置正弦和余弦分量，雖然帶寬仍然和雙邊帶信號相同，但是傳遞的信息也增加了 一 倍，頻譜效率和單邊帶信號是相同的，而且省掉了希爾伯特變換這個環節。

假設 I 路的信號為 \({x_I}\left( t \right)\)，Q 路信號為 \({x_Q}\left( t \right)\)，則經過 IQ 調制后的信號為：

\[x\left( t \right) = {x_I}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - {x_Q}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right) \]

在下一節中可以得到復數信號 \(\left[ {{x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)} \right]{e^{j{w_c}t}}\) 與實數信號 \({x_I}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - {x_Q}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right)\) 存在着一一對應的關系，為了表達的方便，我們經常把 IQ 信號看成是復數信號 ^[1:1]。自然界中的信號是實數，實數信號是實際的發射和接收過程，為了簡化模型， 因此有了信號的復數表示。所以發送信號一般建模成：

\[x_{RF}(t)=\left[ {{x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)} \right]{e^{j{w_c}t}} \]

1.2 帶通信號的復基帶表示

如果信號帶寬 B 遠小於中心頻率 \(f_c\)，則信號 \(x\left( t \right)\) 稱為帶通信號，通信系統中的許多信號都是實帶通信號。帶通信號也可以由兩個低通信號（的調制）來表示^[2]：

\[x\left( t \right) = {x_I}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - {x_Q}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right) \]

\({x_I}\left( t \right)\) 稱為 \(x\left( t \right)\) 的同相分量，\({x_Q}\left( t \right)\) 稱為 \(x\left( t \right)\) 的正交分量。

定義復信號 \(u\left( t \right) = {x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)\)，我們可以得到：

\[\begin{aligned} u\left( t \right){e^{j{w_c}t}} &= \left[ {{x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)} \right]{e^{j{w_c}t}}\\ &= \left[ {{x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)} \right] \cdot \left[ {\cos \left( {{\omega _c}t} \right) + j\sin \left( {{\omega _c}t} \right)} \right]\\ &= {x_I}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - {x_Q}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right) + j\left[ {{x_Q}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) + {x_I}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right)} \right] \end{aligned} \]

由此可以看出，這個所得的復信號的實部其實就是帶通信號，即：

\[x\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {u\left( t \right){e^{j{w_c}t}}} \right\} \]

這個復信號 \(u\left( t \right)\) 就稱作是 \(x\left( t \right)\) 的等效基帶信號或復包絡，等式右邊稱為帶通信號 \(x\left( t \right)\) 的復基帶表示。

從信號與系統的學習中我們知道，一個信號 \(x\left( t \right)\) 通過系統，得到的信號時域上 \(y\left( t \right)\) 等於 \(x\left( t \right)\) 與系統的沖激響應 \(h\left( t \right)\) 的卷積。這在計算基帶信號通過低通系統時運算方便，但是這對於帶通信號和帶通系統來說計算復雜。於是將信號經過等效處理，將復雜運算變為簡單運算^[3]。

1.3 等效基帶信號的頻域圖解

假設已知一個實帶通信號為 \(x\left( t \right)\)，其中心頻率為 \(f_0\)，帶寬為 B，頻譜示意圖為 (a)。定義其解析信號 \(z\left( t \right)\) 為：

\[z\left( t \right) = x\left( t \right) + j\hat x\left( t \right) \]

解析信號的實部為 \(x\left( t \right)\)，虛部為 \(x\left( t \right)\) 的希爾伯特變換，其頻譜示意圖為 (b)，正頻率成分變為原來兩倍，不再有負頻率成分。解析信號本質上是原信號的正頻譜部分，是實信號的一種“簡練”形式^[2:1]。

進一步，我們可知 \(x\left( t \right)\) 的復包絡為 \(u\left( t \right) = {x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)\)，由於下式成立：

\[\begin{aligned}u\left( t \right){e^{j{w_c}t}} &= \left[ {{x_I}\left( t \right) + j{x_Q}\left( t \right)} \right]{e^{j{w_c}t}}\\ &= {x_I}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) - {x_Q}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right) + j\left[ {{x_Q}\left( t \right)\cos \left( {{\omega _c}t} \right) + {x_I}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _c}t} \right)} \right]\\ & = x\left( t \right) + j\hat x\left( t \right)\\ & = z\left( t \right)\end{aligned} \]

我們可知 \(u\left( t \right) = z\left( t \right){e^{ - j{w_c}t}}\)，其復包絡信號是將其頻譜的中心點從 \(f_c\) 搬移到零頻率處，這也是為什么稱之為等效基帶表示，或者說稱 \(u\left( t \right)\) 為帶通信號 \(x\left( t \right)\) 的低通表示^[4]。

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1. 楊學志. 通信之道:從微積分到5G[M]. 2016. ↩︎ ↩︎

2. 帶通信號講解：https://www.cnblogs.com/gemstone/p/3764468.html ↩︎ ↩︎

3. 等效基帶信號講解：https://www.zhihu.com/question/27801168?sort=created ↩︎

4. 帶通信號的低通表示：https://blog.csdn.net/tanghonghanhaoli/article/details/100905201 ↩︎