最近在答疑坊做志願者，很多大一小朋友來問我二分怎么寫。據我觀察，類似的問題已經困擾過我和我的無數同學們了。為了今后節省體力、保護嗓子，我決定寫一篇博客講一下二分的技巧，這樣下次我可以直接把博客轉給問問題的人（
朴素的二分相信大家都很熟悉，無非是每次循環取區間中點mid，再判斷答案是在mid左邊還是mid右邊，遞歸查找，從而在\(O(\log 初始區間長度)\)復雜度內找到答案。
但是在實現二分的時候，很多同學發現：自己的二分死循環了 / 自己搞不清楚自己的邏輯了。接下來我們用一道例題說明一下。
例題1：數組分段
已知一個長度為\(n\)的數組\(a\)，把它切分成\(m\)個連續的段，使得每段之和的最大值最小。求這個最小值。
數據范圍：\(1 \le m \le n \le 10^5, 0 \le a_i \le 10^9\)。
二分的思路很簡單：二分答案\(mid\)，定義一個min_segments(mid)函數，用來求每段和不超過\(mid\)時，最少划分幾段。划分的方法是：從左往右遍歷整個數組，如果當前段能放得下\(a_i\)（加入\(a_i\)之后不會讓當前段的和超出\(mid\)），則把\(a_i\)加到當前段中，否則新開一段，把\(a_i\)放進去。然后根據划分的段數，判斷答案在mid左邊還是右邊。
一個bug，改編自我正在debug的代碼
小明看完題，寫出了這樣一份代碼：
long long l = 0, r = 1e14, mid;
while (l < r) {
mid = (l + r) / 2;
if (min_segments(mid) >= m)
l = mid;
else
r = mid;
}
cout << l << endl;
運行之后，他驚奇地發現：自己的二分代碼死循環了。大家不妨先暫停閱讀，思考一下小明的bug出在哪里？
答案揭曉
問題一：死循環
先不考慮別的問題，只考慮二分的最后一步—— \(r = l + 1\) 的情況。此時\(mid = (l + r) / 2 = l\)。假如此時發現 \(\mathrm{min\_segments}(mid) \ge m\)，那么代碼會執行到 \(l = mid\) 這一步，然后繼續循環——等等，這\(l\)不就沒改變嘛！怪不得死循環了！
問題二：邏輯問題
其實小明還有一個問題，就是在 if (min_segments(mid) >= m) 這一句。不妨思考一下，如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) \ge m\)不成立（也就是說如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) < m\)），意味着什么呢？意味着我們可以把數組分成小於\(m\)段，每段之和不超過\(mid\)，所以答案大於等於\(mid\)，看上去沒有錯。那么如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) \ge m\)成立呢？它什么也不能說明！如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) = m\)，那么\(mid\)固然可能是答案，可是答案可不可能比\(mid\)還小？完全有可能，比如\(mid-1\)，划分出的這\(m\)段完全可能每段之和都不超過\(mid-1\)。當然，答案也可能比\(mid\)還要大。所以這個不等式不能用來判斷答案是在\(mid\)左邊還是\(mid\)右邊。
很多同學在寫二分時都踩過上面這兩個坑。一些人為了避免邏輯錯誤，會分“大於m”、“等於m”、“小於m”三種情況討論，但是這樣並沒有必要，而且在別的二分題目中很可能無法分出三種情況、只能分出兩種。接下來我來講講二分到底怎么寫，才能盡量不出鍋。
所以二分到底怎么寫？
第一步：判斷\(mid\)是否可行
我見過的所有二分問題都可以只分兩種情況討論：
- \(mid\)可能是答案；
- \(mid\)不可能是答案。
例如這道題中，如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) \le m\)，則\(mid\)可能是答案；如果\(\mathrm{min\_segments}(mid) > m\)（也就是說不可能分\(m\)段使得每段和不超過\(mid\)），則\(mid\)不可能是答案。
第二步：判斷答案在\(mid\)哪一側。
在這道題里，如果\(mid\)可能是答案，則實際的答案\(\le mid\)；如果\(mid\)不可能是答案，則實際的答案\(> mid\)。（而在其他題中，情況也可能是：如果\(mid\)可能是答案，則實際的答案\(\ge mid\)；如果\(mid\)不可能是答案，則實際的答案\(< mid\)。)
於是我們的代碼就改成了：
long long l = 0, r = 1e14, mid;
while (l < r) {
mid = (l + r) / 2;
if (min_segments(mid) > m)
l = mid + 1;
else
r = mid;
}
cout << l << endl;
注意l = mid + 1一句，意味着這種情況中，實際答案不僅在\(mid\)右邊，還不可能是\(mid\)，也就是嚴格大於\(mid\)。這句代碼讓答案可能出現的區間從\([l, r]\)變成了\([mid + 1, r]\)。
第三步：考慮\((l + r) / 2\)的取整問題
最后一步也是關鍵的一步。雖然在這道題中，mid = (l + r) / 2是對的，但是有的題中這樣卻可能導致死循環。例如，假如對另一道題，我們寫出了這樣的代碼：
long long l = 0, r = 1e14, mid;
while (l < r) {
mid = (l + r) / 2;
if (一些條件)
l = mid;
else
r = mid - 1;
}
cout << l << endl;
那么，仍然考慮\(r = l + 1\)的情況，此時\(mid = l\)。那么如果if中的“一些條件”成立，程序會執行l = mid——得，又來了，\(l\)沒有改變，死循環了。
對於這種情況，我們不應該寫mid = (l + r) / 2，而應該寫mid = (l + r + 1) / 2，這句的效果就是\(mid = \lceil (l + r) / 2 \rceil\)，即向上取整。無論是向下取整還是向上取整，都不會影響二分復雜度的正確性，但是這一個“+1”之差很可能決定你是否死循環。
例如下面這道題，就可以運用這個技巧：
例題2：x的前驅
已知一個長度為\(n\)的有序數組\(a\)，每次詢問輸入一個\(x\)，輸出\(a\)中最后一個嚴格小於\(x\)數的下標（下標從1開始，如果沒有比\(x\)小的數則輸出\(0\)）。
數據范圍：\(1 \le n \le 10^5, 0 \le a_i, x \le 10^9\)。
正確的代碼：
int l = 0, r = n;
while (l < r) {
mid = (l + r + 1) / 2;
if (a[mid] < x)
l = mid;
else
r = mid - 1;
}
cout << l << endl;