等效介質理論模型---利用S參數反演法提取超材料結構的等效參數

S參數反演法，即利用等效模型的傳輸矩陣和S參數求解超材料結構的等效折射率n和等效阻抗Z的過程。本文對等效介質理論模型進行了詳細介紹，並提供對應代碼。

超材料的傳輸矩陣

超材料結構的傳輸矩陣函數為：

其中，d 為等效光學活性材料的厚度，n 為折射率，Z 表示阻抗。

S參數和傳輸矩陣T

超材料結構的S參數和傳輸矩陣T滿足下列方程：

利用以上兩式，可以得到等效折射率n和相對阻抗的表達式

至此，超材料的等效介電常數與等效磁導率可通過阻抗與折射率進行表征，
其表達式為：

對應代碼

clc;
clear;
S11r = importdata('real11.txt'); %導出的S11參數實部
S11i = importdata('imag11.txt'); %導出的S11參數虛部
S21r = importdata('real21.txt'); %導出的S21參數實部
S21i = importdata('imag21.txt'); %導出的S21參數虛部
real11 = S11r.data;
imag11 = S11i.data;
real21 = S21r.data;
imag21 = S21i.data;
N = 1001;
d = 5e-3; %超材料結構的厚度
c = 3e8;
for i = 1 : N
    f(i) = real11(i,1);
    s11(i) = real11(i,2) + j * imag11(i,2);
    s21(i) = real21(i,2) + j * imag21(i,2);
end
for i = 1 : N
    z1(i) = sqrt(((1+s11(i))^2 - s21(i)^2)./((1-s11(i))^2 - s21(i)^2));
    if real(z1(i))>0
        z(i) = z1(i);
    else
        z(i) = -z1(i);
    end
    kd(i) = d * 2 * pi * f(i) * 1e9/c;
    n1(i) = acos(((1-s11(i))^2 + s21(i)^2)/2/s21(i))/kd(i);
    if imag(n1(i))>0
        n(i) = n1(i);
    else
        n(i) = -n1(i);
    end
    e(i) = n(i)/z(i);
    miu(i) = n(i) * z(i);
end
figure %繪圖
plot(f,real(z)); hold on; plot(f,imag(z),'r');
figure
plot(f,real(n)); hold on; plot(f,imag(n),'r');
figure
plot(f,real(e)); hold on; plot(f,imag(e),'r');
figure
plot(f,real(miu)); hold on; plot(f,imag(miu),'r');

[1] Chen X, Grzegorczyk T M, Wu B I, et al. Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials[J]. Physical Review E, 2004, 70(1): 016608.
[2]張克潛, 李德傑. 微波與光電子學中的電磁理論（第二版）. 北京電子工業出版社,
2001, 110–166.