CAD調用說明
cad上面調用不用這么復雜,可以見 cad.net 投影三維圖元到某個平面上+求圖元交點
某些情況數學方法處理更佳,例如你要打倒桌子!
簡述
首先要說明,看懂本篇您並不需要高中文化水平...
為了求兩條線的交點,首先要知道什么能求,而目前來說,我只知道高中數學的直線方程,那么我就要引入直線方程的概念...
然后為什么直線方程能求交點呢?因為同時滿足兩條聯立的直線方程,它的共同解也就只能是交點...(這里沒看懂沒關系,跟着代碼走的時候你就知道了.)
而直線方程實際上是描述一條兩端無限延長的線,cad術語就是參照線,構成的兩點只是過兩點,而不是端點.
是參照線的話,這就有一個非常好的條件: 除非平行,否則必然有交點
那么在編程上,我拿到的數據一般是兩個點..(x1,y1)(x2,y2)
通過這一條線坐標計算出斜率,這個斜率實際上就是直角三角形(高/底)
//斜率=高/底
var a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考慮分母不能為0
var b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考慮分母不能為0
這樣就有個問題了,會存在分母可能為0的情況,需要先判斷一下:
//因為求斜率需要用除法,分母可能為0,所以求斜率之前,
//需要判斷兩條線是否x軸平行或者y軸平行
if (Eq(x2, x1) && Eq(x4, x3))
throw new Exception("與y軸平行,兩直線垂直,斜率不存在,無交點");
if (Eq(y2, y1) && Eq(y4, y3))
throw new Exception("與x軸平行,兩直線水平,斜率為零,無交點");
//求斜率,分母為0並不報錯,而是賦值成 Infinity
double a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考慮分母不能為0 即x2=x1 l1垂直於x軸
double b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考慮分母不能為0 即x4=x3 l2垂直於x軸
if (Eq(a, b))
throw new Exception("斜率一致,兩直線斜着平行,無交點");
有了斜率和有兩個點,就可以求直線方程,可以利用"點斜式"來求.
如果你想知道其他的方式,可以看直線方程的五種形式可看樂樂課堂,
用我的話來說,其他形式最后都會成為點斜式,因為它足夠簡單.
直線方程點斜式
y-y1=k(x-x1)
這里k是斜率(因兩條直線:我的斜率是a和b),可以理解公式的x=x2,y=y2,為了使得x2,y2是個可變的點,所以用x,y代替(我的是_x,_y),成為未知數....這里x1,y1就是套入的點.
如下圖,形象理解一下y-y1是豎,x-x1是橫,豎=斜率*橫
變換成:第一種 y=k(x-x1)+y1 這種比較重要! 因為眾所周知的黎曼可積都是豎着切
變換成:第二種 x=(y-y1-k*x1)/k
然后由於未知數有兩個還沒法求,但是現在知道了一個條件: {知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}
垂線情況
通過垂線得到_x,求出_y
我之前的代碼否決了兩條線都平行或者都垂直
還有一種情況未否決,這就是其中一條是垂直,它導致了一條線的分母是0,在c#中使用了分母為0的並不報錯,而是double的值成為一個Infinity(正無窮)
如果使用了這個斜率就會報錯,所以我需要避免使用這個它..
又由於這個斜率為0肯定是一條垂線,它的x1==x2是確定的,代表了兩條直線的交點的_x肯定是這個x1.
通過條件{知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}套入公式即可求_y
double _x, _y = 0;//未知數初始化
//L1或L2兩直線可能其中一個有Y軸平行(垂直X軸)的
if (Eq(x2, x1)) //L1垂直於x軸 則x=x1=x2,(x2 - x1)是0==斜率a的分母,a=Infinity正無窮
{
_x = x1;
_y = b * x1 - b * x3 + y3;//公式變換第一種
return new double[] { _x, _y };
}
else if (Eq(x4, x3)) //L2垂直於x軸 則x=x3=x4,(x4 - x3)是0==斜率b的分母,b=Infinity正無窮
{
_x = x3;
_y = a * _x - a * x1 + y1;//公式變換第一種
return new double[] { _x, _y };
}
聯立方程
現在剩下一種情況,就是兩條都是斜的.這個時候需要聯立方程.再重復提及一下: 因為直線方程描述是一條參照線,兩端無限延長,除非平行,否則必有交點.
又因為交點是兩條線的共同解,所以點斜式:line1和line2相減必然是0.
{第一條線的直線方程} - {第二條線的直線方程} = 0; //橋接你的思路: 因為交點.Y-交點.Y=0,交點.X-交點.X=0啊!
這樣做的目的,就是算式剩下未知數是_x(其實反過來用X也可以)
套到公式就是這樣:
[y=a(_x-x1)+y1] - [y=b(_x-x3)+y3] =0;
[a*(_x-x1)+y1] - [b*(_x-x3)+y3] =0;
[a*_x-a*x1+y1] - [b*_x-b*x3+y3] =0;
a*_x-a*x1+y1 - b*_x+b*x3-y3 =0; 去括號,括號前是-號,故此+-互變
a*_x-b*_x-a*x1+y1+b*x3-y3=0; 未知數的放一塊
(a - b)* _x = 0 + a*x1 - y1 - b*x3 + y3; 移項,+-互變
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
//上面程序代碼已經算了_x了,直接套入點斜式方程,通過條件{知道x就可以推出y,知道y就可以推出x}
_y = a * _x - a * x1 + y1;
就這樣,大功告成....
直線方程一般式
在點斜式上面使用了邏輯避讓開垂直和水平的情況,那么一般式里面本身就容納這個邏輯.
可以看看數學家們是怎么利用各種直線方程歸納出一般式的,就明白了為什么"容納"了,這個視頻有.
代碼
// https://blog.csdn.net/yangtrees/article/details/7965983
/// <summary>
/// 求交點,直線方程一般式,平行無解
/// </summary>
/// <returns>交點</returns>
public static PointV GetCrossPoint(PointV p1, PointV p2, PointV p3, PointV p4)
{
/* 直線方程一般式: Ax+By+C=0,推導:
* 當x1!=x2,則斜率[(y2-y1)/(x2-x1)],所以有點斜式方程: y-y1=k(x-x1)
* y-y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1) ;高=斜率*底
* y = [(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1)+y1 ;加法交換律,y=斜率*底+y1.
* (x2-x1)y = {[(y2-y1)/(x2-x1)]*(x-x1)+y1}*(x2-x1) ;兩邊同乘(x2-x1)
* = (y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)*(x2-x1) + y1(x2-x1) ;拆括號
* = (y2-y1)*(x-x1) + y1(x2-x1) ;約去兩個相同(x2-x1)項
* = (y2-y1)x -(y2-y1)x1 + y1(x2-x1) ;這一步開始根據一般式的格式,將系數划分出來
* | |-(x1y2-x1y1)+ x2y1-x1y1 ;簡單運算
* | |x2y1-x1y1-(x1y2-x1y1) ;簡單運算
* | |x2y1-x1y1-x1y2+x1y1 ;簡單運算
* (x2-x1)y | (y2-y1)x |x2y1-x1y2 ;簡單運算
* -B | A |C ;格式
* 保留系數-|------------|-------------------------------
* x1-x2 |y2-y1 |x2y1-x1y2 ;寫入到代碼中
* B | A |C ;直線方程一般式
*/
var a1 = p2.Y - p1.Y;
var b1 = p1.X - p2.X;
var c1 = p2.X * p1.Y - p1.X * p2.Y;
var a2 = p4.Y - p3.Y;
var b2 = p3.X - p4.X;
var c2 = p4.X * p3.Y - p3.X * p4.Y;
/* 求交點就是聯立方程:
* (A1x+B1y+C1)-(A2x+B2y+C2)=0,二者實際上就是聯立方程組的叉積應用
* 叉乘:依次用手指蓋住每列,交叉相乘再相減,注意主副順序
* x y z
* a1 b1 c1
* a2 b2 c2
*/
var x = b1 * c2 - b2 * c1;//主-副(左上到右下是主,左下到右上是副)
var y = a2 * c1 - a1 * c2;//副-主
var z = a1 * b2 - a2 * b1;//主-副,為0表示兩直線重合
var cp = new PointV();
if (Math.Abs(z) > 1e-8)
{
cp.X = x / z;
cp.Y = y / z;
//cp.Z = z / z;
}
//唉唉唉!!!這樣Z不都是1了?直線方程是平面坐標系,因此Z抹去,
//那么明明叉乘是可以滿足XYZ的推導,恰恰這個時候告訴你Z抹去了,
//那是不是代表說,直線方程 上面少了參數?然后就可以描述成 空間直線方程?
//所以就延伸出 空間直線方程一般式: Ax+By+Cz+D=0.
return cp;
}
編程特有
如果你把這個提示報錯代碼去掉,會出現有意思的東西.
測試代碼
先下載一個PointV類
控制台測試
using JoinBox.BasalMath;
using System.Runtime.InteropServices;
using static JoinBox.BasalMath.Geometrist;
namespace 求交點
{
public class test
{
public static void Print(string str)
{
System.Console.WriteLine(str);
}
public static void Main(string[] args)
{
PointV pt;
//水平平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 0), new PointV(0, 5), new PointV(10, 5));
Print(pt.ToString());
//垂直平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(0, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//一斜一水平
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(0, 5), new PointV(10, 5));
Print(pt.ToString());
//一斜一垂直
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//L1線垂直
pt = IntersectWith(new PointV(5, 0), new PointV(5, 10), PointV.Origin, new PointV(10, 10));
Print(pt.ToString());
//L2線垂直
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(5, 0), new PointV(5, 10));
Print(pt.ToString());
//兩條都是斜的 交點
pt = IntersectWith(PointV.Origin, new PointV(10, 10), new PointV(10, 0), new PointV(0, 10));
Print(pt.ToString());
//兩條都是斜着 平行
pt = IntersectWith(PointV.Origin,
new PointV(1, 1),
new PointV(0.70710678118655, -0.70710678118655),
new PointV(1.70710678118655, 0.29289321881345));
Print(pt.ToString());
}
}
}
封裝
using System;
namespace JoinBox.BasalMath
{
public partial class Geometrist
{
/// <summary>
/// 直線方程求交點
/// </summary>
public static PointV IntersectWith(PointV p1, PointV p2, PointV p3, PointV p4)
{
var obj = IntersectWith(p1.X, p1.Y, p2.X, p2.Y, p3.X, p3.Y, p4.X, p4.Y);
return new PointV(obj);
}
static bool Eq(double a, double b, double tolerance = 1e-6)
{
return Math.Abs(a - b) < tolerance;
}
/// <summary>
/// 直線方程求交點
/// </summary>
static double[] IntersectWith(
double x1, double y1,
double x2, double y2,
double x3, double y3,
double x4, double y4)
{
//因為求斜率需要用除法,分母可能為0,所以求斜率之前,
//需要兩條線是否x軸平行或者y軸平行
if (Eq(x2, x1) && Eq(x4, x3))
throw new Exception("與y軸平行,兩直線垂直,斜率不存在,無交點");
if (Eq(y2, y1) && Eq(y4, y3))
throw new Exception("與x軸平行,兩直線水平,斜率為零,無交點");
//求斜率,分母為0並不報錯,而是賦值成 Infinity
double a = (y2 - y1) / (x2 - x1); //需考慮分母不能為0 即x2=x1 l1垂直於x軸
double b = (y4 - y3) / (x4 - x3); //需考慮分母不能為0 即x4=x3 l2垂直於x軸
if (Eq(a, b))
throw new Exception("斜率一致,兩直線斜着平行,無交點");
double _x, _y;
//L1或L2兩直線可能其中一個有Y軸平行(垂直X軸)的
if (Eq(x2, x1)) //L1垂直於x軸 則x=x1=x2,(x2 - x1)是0==a分母,a=Infinity正無窮
{
_x = x1;
_y = b * x1 - b * x3 + y3;//公式變換第一種
return new double[] { _x, _y };
}
else if (Eq(x4, x3)) //L2垂直於x軸 則x=x3=x4,(x4 - x3)是0==b分母,b=Infinity正無窮
{
_x = x3;
_y = a * _x - a * x1 + y1;//公式變換第一種
return new double[] { _x, _y };
}
//兩條直線都是非垂直狀態
/* 知道了點和斜率,那么兩條點斜式方程聯立.
因為直線方程是一條參照線,兩端無限延長,除非平行,否則必有交點.
又因為交點是兩條線的共同解,所以點斜式:line1和line2的y相減是0,y=k(_x-x1)+y1
所以未知數y就相減去掉,剩下x,來求y.
反之,也可以相減去掉x,來求y.
[y=a(_x-x1)+y1] - [y=b(_x-x3)+y3] =0;
[a*(_x-x1)+y1] - [b*(_x-x3)+y3] =0;
[a*_x-a*x1+y1] - [b*_x-b*x3+y3] =0;
a*_x-a*x1+y1 - b*_x+b*x3-y3 =0; 去括號,+-互變
(a - b)* _x = 0 + a*x1 - y1 - b*x3 + y3; //移項,+-互變
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
*/
_x = (a * x1 - y1 - b * x3 + y3) / (a - b);
//但是上面程序代碼已經算了_x了,直接套入點斜式方程,偷懶...也可以通過公式計算
/* y-y1=k*x-k*x1
y-y1+k*x1=k*x
(y-y1+k*x1)/k=x
[(y-y1-a*x1)/a] - [(y-y3-b*x3)/b] =0; //這是按照公式的方法
*/
_y = a * _x - a * x1 + y1; // 點斜式方程 y-y1=k(x-x1)
return new double[] { _x, _y };
}
}
}
CAD測試
namespace JoinBox
{
public class CmdTest
{
[CommandMethod("CmdTest_IntersectWith")]
public void CmdTest_IntersectWith()
{
var doc = Acap.DocumentManager.MdiActiveDocument;
var ed = doc.Editor;
var db = doc.Database;
ed.WriteMessage(Environment.NewLine + "驚驚net測試區:");
var pts = new List<Point3d>();
var ppo = new PromptPointOptions("")
{
AllowArbitraryInput = true,//任意輸入
AllowNone = true //允許回車
};
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
ppo.Message = $"{Environment.NewLine}測試點{i + 1}:";
var ppr = ed.GetPoint(ppo);//用戶點選
if (ppr.Status != PromptStatus.OK)
return;
pts.Add(ppr.Value);
}
var pt1 = Geometrist.IntersectWith(pts[0], pts[1], pts[2], pts[3]);
ed.WriteMessage("\n點斜式交點1是:" + pt1.ToString());
var pt2 = Geometrist.GetCrossPoint(pts[0], pts[1], pts[2], pts[3]);
ed.WriteMessage("\n一般式交點2是:" + pt2.ToString());
}
}
}
(完)