四元數與3D旋轉實例！ Cocos Creator 3D Quaternion !
用幾個實用的例子帶你理解四元數!
前言
本文不會講太多四元數公式的推導過程，重點講講幾個接口的使用和個人理解。
閱讀本文可能需要一些前置的知識（但不限於這些知識點）：
- 向量 （內積外積/基本運算/幾何意義）
- 坐標系（左手系/右手系/世界坐標/本地坐標）
- 矩陣（平移/旋轉/縮放/模型矩陣/視圖矩陣/投影矩陣）
- 視點和視線（視點/觀察目標/上方向）
https://www.bilibili.com/video/BV1Bt4y1v7R1/
表示3D旋轉一般采用三種方法：
- 矩陣
- 歐拉角
- 四元數
為什么使用四元數表示旋轉呢？
- 平滑插值。 (矩陣基本沒有，歐拉角可以做插值，但可能遭遇萬向鎖的問題)
- 快速連接和角位移求逆。
- 能和矩陣快速轉換。
- 僅用四個數。（矩陣9個，歐拉角3個）
難以理解，學會了看起來很牛逼。
當然四元數也有一些缺點：
- 四元數可能不合法。（一般通過四元數標准化解決這個問題，確保四元數為單位四元數）
- 對給定的方位的表達方式有兩種方法，它們相互為負。（矩陣唯一，歐拉角有無數種）
- 相對難以使用。
實例
構造四元數
四元數的定義這邊就不詳細說了，大概知道就是用四個數字去表達旋轉。
那么怎么去構造這個四元數呢？我們從API入手去講解和理解。
旋轉軸和旋轉角
有了旋轉軸和旋轉角，就可以表示旋轉了，那么四元數也可以通過這個構造出來。
/**
* @zh 根據旋轉軸和旋轉弧度計算四元數
*/
public static fromAxisAngle<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, axis: VecLike, rad: number) {
rad = rad * 0.5; // 為什么要除以2？因為公式推導出來的！
const s = Math.sin(rad);
out.x = s * axis.x;
out.y = s * axis.y;
out.z = s * axis.z;
out.w = Math.cos(rad);
return out;
}
本地坐標軸
根據該物體本地坐標軸也能確定旋轉。
/**
* @zh 根據本地坐標軸朝向計算四元數，默認三向量都已歸一化且相互垂直
*/
public static fromAxes<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, xAxis: VecLike, yAxis: VecLike, zAxis: VecLike) {
Mat3.set(m3_1,
xAxis.x, xAxis.y, xAxis.z,
yAxis.x, yAxis.y, yAxis.z,
zAxis.x, zAxis.y, zAxis.z,
);
return Quat.normalize(out, Quat.fromMat3(out, m3_1));
}
視口和上方向
根據視口的前方向和上方向，先計算本地坐標軸的右向量，再算出本地坐標的上向量，最后再構造成四元數。
/**
* @zh 根據視口的前方向和上方向計算四元數
* @param view 視口面向的前方向，必須歸一化
* @param up 視口的上方向，必須歸一化，默認為 (0, 1, 0)
*/
public static fromViewUp<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, view: VecLike, up?: Vec3) {
Mat3.fromViewUp(m3_1, view, up);
return Quat.normalize(out, Quat.fromMat3(out, m3_1));
}
兩向量間的最短路徑旋轉
也可以用一個四元數表示量向量旋轉的最短路徑。
/**
* @zh 設置四元數為兩向量間的最短路徑旋轉，默認兩向量都已歸一化
*/
public static rotationTo<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, a: VecLike, b: VecLike) {
// 省略代碼實現
}
矩陣/歐拉角
也可以通過其他表示方法轉換為四元數。
/**
* @zh 根據三維矩陣信息計算四元數，默認輸入矩陣不含有縮放信息
*/
public static fromMat3<Out extends IQuatLike> (out: Out, m: Mat3) {
// 省略代碼實現
}
/**
* @zh 根據歐拉角信息計算四元數，旋轉順序為 YZX
*/
public static fromEuler<Out extends IQuatLike> (out: Out, x: number, y: number, z: number) {
// 省略代碼實現
}
獲取四元數相關信息
上面講了如何去構造，相應的也可以通過四元數獲取相關信息，這里不細講了含義了，直接看看API吧。
/**
* @zh 獲取四元數的旋轉軸和旋轉弧度
* @param outAxis 旋轉軸輸出
* @param q 源四元數
* @return 旋轉弧度
*/
public static getAxisAngle<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (outAxis: VecLike, q: Out) {
//...
}
/**
* @zh 返回定義此四元數的坐標系 X 軸向量
*/
public static toAxisX (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
//...
}
/**
* @zh 返回定義此四元數的坐標系 Y 軸向量
*/
public static toAxisY (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
//...
}
/**
* @zh 返回定義此四元數的坐標系 Z 軸向量
*/
public static toAxisZ (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
//...
}
/**
* @zh 根據四元數計算歐拉角，返回角度 x, y 在 [-180, 180] 區間內, z 默認在 [-90, 90] 區間內，旋轉順序為 YZX
* @param outerZ z 取值范圍區間改為 [-180, -90] U [90, 180]
*/
public static toEuler (out: IVec3Like, q: IQuatLike, outerZ?: boolean) {
//...
}
實際例子
沒有實戰，單純講API就是耍流氓！直接進入實戰部分！
角色朝向和平滑插值
已知當前點和下一個點，如何求出角色的朝向四元數？
- 先算出前方向
- 根據視口上方向求出四元數
const cur_p = list[index - 1]; // 當前點
const next_p = list[index]; // 最終點
const quat_end = new Quat(); // 最終旋轉四元數
const dir = next_p.clone().subtract(cur_p); // 前向量
// 模型正好朝z軸方向
Quat.fromViewUp(quat_end, dir.normalize(), v3(0, 1, 0)); // 根據視口的前方向和上方向計算四元數
// 最終旋轉四元數 / 視口面向的前方向 / 視口的上方向
已知起始四元數和終點四元數，如何平滑旋轉？
const tw = tween(this.node_bezier_role); // 使用tween動畫
const quat_start = new Quat();
this.node_bezier_role.getRotation(quat_start); // 獲取起始四元數
const quat_end = new Quat(); // 最終旋轉四元數 假設已經算出
const quat_now = new Quat(); // 用一個中間變量
tw.to(0.2, {}, {
onUpdate: (target, ratio: number) => {
// ratio : 0~1
// 這里使用球面插值，旋轉時不會出現變形
quat_now.set(quat_start).slerp(quat_end, ratio);
this.node_bezier_role.setRotation(quat_now);
},
})
tw.start();
將旋轉和移動結合起來就能達到下面這個效果。
觸摸旋轉
關鍵是求出旋轉軸，這邊處理的旋轉軸在 xoy 這個平面上。
// private onTouchMove(touch: Touch) {
const delta = touch.getDelta();
// 自傳
// 這個物體模型‘錨點’在正中心效果比較好
// 垂直的軸，右手
//
// 旋轉軸
// ↑
// ---> 觸摸方向
const axis = v3(-delta.y, delta.x, 0); //旋轉軸，根據相似三角形求出
const rad = delta.length() * 1e-2; //旋轉角度
const quat_cur = this.node_touch_rotation_role.getRotation(); //當前的四元數
Quat.rotateAround(this.__temp_quat, quat_cur, axis.normalize(), rad); //當面的四元數繞旋轉軸旋轉
// 旋轉后的結果 / 當前的四元數 / 旋轉軸 / 旋轉四元數
this.node_touch_rotation_role.setRotation(this.__temp_quat);
展示結果如下：
繞軸旋轉
已知旋轉點、旋轉軸、旋轉角度，求旋轉后的位置和朝向。
朝向計算和觸摸旋轉類似，這里不詳說了。
這邊講講如何計算旋轉后的坐標。
- 先計算旋轉點和當前位置點的向量（起始向量）
- 計算旋轉四元數
- 計算起始向量旋轉后的向量
- 計算旋轉后的坐標點
// private onTouchMove(touch: Touch) {
const delta = touch.getDelta();
// 繞軸轉
// 這里選取軸朝上
const axis2 = Vec3.UP;//旋轉軸
const rad2 = 1e-2 * delta.x; //旋轉角度
// 計算坐標
const point = this.node_axi.worldPosition; //旋轉點
const point_now = this.node_touch_axi_role.worldPosition; // 當前點的位置
// 算出坐標點的旋轉四元數
Quat.fromAxisAngle(this.__temp_quat, axis2, rad2);
// 計算旋轉點和現有點的向量
Vec3.subtract(this.__temp_v3, point_now, point);
// 計算旋轉后的向量
Vec3.transformQuat(this.__temp_v3, this.__temp_v3, this.__temp_quat)
// 計算旋轉后的點
Vec3.add(this.__temp_v3, point, this.__temp_v3);
this.node_touch_axi_role.setWorldPosition(this.__temp_v3);
// 計算朝向
// 這么旋轉會按原始的朝向一起旋轉
const quat_now = this.node_touch_axi_role.worldRotation;
Quat.rotateAround(this.__temp_quat, quat_now, axis2, rad2);
Quat.normalize(this.__temp_quat, this.__temp_quat);
this.node_touch_axi_role.setWorldRotation(this.__temp_quat);
最終效果如下。
小結
可以把四元數當作一個工具，想想旋轉可以是用軸角度，本地坐標系，或着視角方向構造出來的，再使用相應的接口去實現我們的各種需求。
以上為白玉無冰使用 Cocos Creator 3D v1.2 實現 "四元數與旋轉" 的技術分享。歡迎分享給身邊的朋友！
參考
- 《WebGL編程指南》
- 《3D數學基礎：圖形與游戲開發》
- https://docs.cocos.com/creator3d/api/zh/classes/core_math.quat.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
- https://eater.net/quaternions
- https://github.com/Krasjet/quaternion
- https://forum.cocos.org/t/creator-3d-unity-transfrom-rotatearound-api/85157/5
- https://forum.cocos.org/t/topic/92924/11
- https://forum.cocos.org/t/creator-3d/91299
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