能控型、能觀性和穩定性之間的關系

作者：荷蘭豬
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系統能控和可觀性是系統可以被穩定的充分不必要條件。

如果系統本身狀態方程為 ，沒有任何可以接受的輸入，那么我們說系統是自發的(autonomous)。

判定穩定性首先看 矩陣，如果 矩陣的所有特征值都在復平面的左邊，那么系統 就是漸近穩定(asymptotically stable)的。

因為我們需要控制系統，所以系統要有輸入，加入輸入后狀態方程變為：

有了控制輸入，我們來解釋一下能控性。

假設我們可以給予系統任意的輸入信號，那么我們希望研究 可以取得的值的集合。顯然這個集合是 的子集。如果該子集等於 那么我們說系統是能控的。舉個栗子，假設系統的狀態方程為：

無論 取多少， 始終等於0,我們無法利用輸入控制狀態 。 此時的系統不可控。我們能取得的 。

系統的能控性判據為能控性矩陣：

如果 我們說系統是能控的。上栗子中 , 。

如果系統能控，意味着我們可以利用輸入讓系統狀態等於任意我們希望的狀態。

那么這和系統的穩定性有什么聯系呢？

我們假設系統矩陣 有特征值在右半平面（即系統矩陣不穩定），如果系統能控，那么我們可以利用狀態反饋控制：

使得系統矩陣變為：

將原本不穩定的系統變成穩定的系統。

再來解釋能觀性，這個時候需要引入完全的狀態空間方程：

我們來看一下狀態反饋控制的方程 ，很顯然，構建這個狀態反饋控制方程，我們需要知道系統的狀態 。但是在現實系統中，我們可以用傳感器測量的量是（也叫作系統的輸出） ，我們並不知道系統的狀態 的值，因此我們並不能構建狀態反饋控制，這樣一來我們還是不能使系統穩定。

這個時候怎么辦呢，唯一辦法是我們希望能夠由 的值推算出 的值。如果我們可以從輸出 中推算出（其實是建立狀態觀測器估計出） ，則我們說系統是能觀的。這樣一來，我們就構建狀態反饋控制 來使系統穩定了。

當然系統的可觀性，也有相應的能觀性矩陣做判定。這里我就不展開了。

總體來說，如果一個系統不穩定，但是可觀並且能控，那么我們就可以使用狀態觀測器+狀態反饋控制讓系統變的穩定。

事實上，可觀能控是系統可以被穩定的充分不必要條件。這里暫時不展開講，如果明天我有空並且這個問題有更多人關注的話，我就繼續寫。