DDA畫線算法
一.算法介紹
DDA是一種增量算法，也就是說通過對前一個點在X和Y軸方向上加上一個增量，從而得到一個新點得坐標。這個算法要求先算出直線的斜率,然后從起點開始，確定最佳逼近於直線
的y坐標。假設起點的坐標為整數，直線方程為y=kx+b,k的取值在0到1之間，x每遞增1，y相應地遞增k。因為像素的坐標是整數，所以y需要進行取整處理。對新坐標行四舍五入得到
整型y值，確定一個要渲染得像素點。從而畫出一條直線。
二.算法解析：
當 | k | <= 1時：
已知過端點 P0(x0, y0)，P1(x1, y1) 的直線段 L(P0, P1)；直線斜率為 k = (y1 - y0) / (x1 - x0)。於是 yi+1 = kxi+1 + b。
1.x每遞增1，y相應地遞增k，每次計算點的坐標，我只需要x+1，y+k就行了，避免了乘除，而只有加減。
↓
2.通過增量得到下一個點后，可知此坐標肯定會與實際像素點有偏差（實際的直線並不是和像素點完全重合的）。所以采取四舍五入得方式來平衡差值，但是
C/C++中取整是直接舍去小數值，所以采取加上0.5再取整，即int(y+0.5)。從而達到一個四舍五入的目的。
當 | k | > 1時：
若仍然使 k = (y1 - y0) / (x1 - x0)，則會導致斜率大於1。從而在x遞增1的時候y可能會出現遞增大於1的數，使得像素點不相鄰，直線不連續，出現斷點的情況。
此時應令k = (x1 - x0) / (y1 - y0)，然后執行y+1，x+k 。最后再對x四舍五入int(x+0.5)。
三、代碼
// 數值微分法，偽代碼。通過此代碼可理解算法的基本思路
當 | k | <= 1時：
當 | k | > 1時：
綜上可得：
中點畫線算法
圖1 圖2
引用這2個圖是因為實際像素為圖1，圖2中為了方便算法的描繪，采用像素中心來代替整個像素點。所以不要單純由圖2產生錯誤理解，要聯系實際的物理分布。
一、算法介紹
這里的中點指的是直線與虛擬網格交點Q的上下像素點的連線中點M。將M與Q點進行比較，若Q與M重合或者在M之下，則渲染P1點。else,渲染上方
的P2點。從而渲染出一條直線。
二、算法解析
1.設坐標的單位為1，斜率k<1，起點和終點為 (x0, y0)和(x1, y1)，則F(x, y) = ax + by + c， 其中a = y0 - y1， b = x1 - x0，c = x0y1 - x1y0
（a,b,c是如何得到的？）
解：
已知直線上兩點求直線的一般式方程
2.算法流程
當 | k | <= 1時
對於直線上的點，F(x, y) = 0；直線上方的點，F(x, y) > 0；直線下方的點，F(x, y) < 0. 因此，判斷M在Q的上方還是下方，只需將M點帶入方程計算判別式：
解釋：為何要用2d代替d？這是為了來擺脫浮點運算，只進行整數的加法，相比於DDA算法進一步提高了效率。而d只是用來比較正負，所以乘以倍數不會改變符號。
當 | k | > 1時
方法與DDA同理
三、代碼
以下代碼為|k|<=1時，只包含整數運算的方法：
void MidPointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color)
{
int a, b, delta1, delta2, d, x, y;
a = y0 - y1;
b = x1 - x0;
d = 2 * a + b; //求d的初值
delta1 = 2 * a;
delta2 = 2 * (a + b); //兩種不同情況下的增量
x = x0;
y = y0;
DrawPixel(x, y, color);
while (x < x1)
{
if (d < 0)
{
++x; //取右上方的點
++y;
d += delta2;
}
else
{
++x; //取正右方的點
d += delta1;
}
DrawPixel(x, y, color);
}
二、算法解析
y
1.如圖，假設每次x + 1，而y要么不變，要么遞增1，是否遞增1取決於誤差項d的值(如上圖所示)。因為直線起始點在像素中心，所以誤差項d的初始值為0，x下標每增加1，d的值相應遞增直線的斜率值，即d = d + k. 一旦d >= 1，將它的值減去1，使得d的值總保持在0到1之間。
當d >= 0.5時，直線與x + 1列垂直網格線交點最接近於當前像素的右上方像素點(x + 1， y + 1)，d < 0.5時則為正右方像素(x + 1, y)。
2.為了將算法也改進為整數加減，所以要進行變動。
改進1：大小判定簡化到正負判定
令 e = d - 0.5，當e >= 0時 ，下一個像素值y遞增1，e < 0時y不遞增。此時e初始值為-0.5。每走一步e=e+k，當渲染后需再次對e進行判定，以保證其相對區間。
當e>0時，e=e-1。（此處-1操作會產生誤解，可以轉換對象來看，e只是為了轉換d的判別形式，所以可以直接看d。e>0與d>0.5一致，下一次取點d>1，此時d-1所以e-1）
↓
改進2：去除0.5這個浮點數運算
兩邊同乘2得：2e=2d-1，2e=2e+2k
↓
改進3：去除求斜率k=dy/dx的除法運算
兩邊再同乘dx得：2dx*e = 2dx*d - dx，2dx*e = 2dx*e + 2dx*k = 2dx*e + 2dy。令e=2dx*e得，e=e-dx，e=e+2dy。同理，在e>0時執行的e=e-1變為e=e-2dx。
↓
結果：初始值d=0，化簡上式可得 ①e0 = -dx ②e = e + 2dy ③e=e-2dx
最后總結一下具體步驟：
1.輸入直線的兩個端點P0(x0,y0)和P1(x1,y1)
2.計算初始值Δx、Δy、e=-Δx、x=x0,y=y0
3.繪制點(x,y)
4.e更新為e+2Δy，判斷e的符號，若e>0，則（x,y）更新為（x+1,y+1），同時將e更新為e-2Δx;else 將（x,y) 更新為（x+1,y）
5.當直線沒有畫完時，重復3和4，否則結束。
三、代碼
//偽代碼如下
void Bresenham(int x0, int y0, int x1, int y1, int color)
{
int x, y, dx, dy;
float k, e;
dx = x1 - x0;
dy = y1 - y0;
e = -dx
x = x0;
y = y0;
for (int i = 0; i <= dx; ++i)
{
DrawPixel(x, y, color);
x += 1;
e = e + 2 * dy;
if (e >= 0) // 偽代碼，實際比較浮點數不這樣進行比較
{
y += 1;
e = e - 2 * dx;
}
}
}
三種算法的對比
一、DDA
采用的是浮點數運算，不易於硬件實現。
二、中點畫線算法
只有整數運算，不含乘除，可用硬件實現。相對於DDA提高了效率
三、Bresenham算法
1.在渲染點的循環中沒有計算直線的斜率，不用做除法。
2.不用浮點數，只做整數加法和乘2運算，乘2運算可用硬件位移實現。
3.應用范圍不拘束於直線的方程形式
4.Bresenham算法”其實“比較像數值微分法，也是增量算法，但是相對來說更利於硬件實現。
四、總結
中點畫線算法比DDA效率更高，Bresenham算法比中點畫線算法的應用范圍更廣。