蠻力法解 TSP 問題

目錄

• 蠻力法
• TSP 問題
• 實驗程序編寫
  • 圖結構體定義
  • 城市拓撲的建立
  • DFS
  • 主函數
• 獲取實驗數據
• 實驗數據分析
  • 路線數
  • DFS 次數
  • 數據文件大小
• 總結
• 參考資料

蠻力法

蠻力法也稱窮舉法或枚舉法，是一種簡單直接地解決問題的方法，常常直接基於問題的描述，所以蠻力法也是最容易應用的方法。蠻力法所依賴的基本技術是遍歷，也稱掃描，即采用一定的策略依次理待求解問題的所有元素，從而找出問題的解。依次處理所有元素是蠻力法的關鍵，為了避免陷人重復試探，應保證處理過的元素不再被處理。

TSP 問題

TSP 問題（Traveling Salesman Problem）又譯為旅行推銷員問題、貨郎擔問題，是數學領域中著名問題之一。假設有一個旅行商人要拜訪 n 個城市，他必須選擇所要走的路徑，路徑的限制是每個城市只能拜訪一次，而且最后要回到原來出發的城市。路徑的選擇目標是要求得的路徑路程為所有路徑之中的最小值。——百度百科

使用蠻力法求解 TSP 問題的思想是，通過窮舉的方式把所有可能的路徑找出來，然后對每一條路徑都計算開銷，最終找出開銷最小的路徑。例如對於如圖 4 個城市的拓撲，使用蠻力法求解的過程如表格所示。

序號	路徑	路徑長度	是否最短
1	a->b->c->d->a	18	否
2	a->b->d->c->a	11	是
3	a->c->b->d->a	23	否
4	a->c->d->b->a	11	是
5	a->d->b->c->a	23	否
6	a->d->c->b->a	18	否

當城市規模增大時，存在的路徑數會呈現指數型增長，例如 11 個城市的拓撲圖如下所示。

實驗程序編寫

圖結構體定義

TSP 是個 NP 完全問題，我們需要圖結構來進行存儲。我選擇鄰接矩陣存儲城市拓撲圖，定義的圖結構體如下。

typedef struct    //圖的定義
{
      int edges[MAXV][MAXV];    //鄰接矩陣
      int n;    //頂點數
} MGraph;

城市拓撲的建立

接下來就需要把城市拓撲存儲在鄰接矩陣中，因為城市拓撲是完全圖，因此我們需要存儲所有城市之間的距離。

MGraph CreateMGraph(int num)    //建圖 
{
	MGraph topography;
	
	for (int i = 1; i <= num; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= num; j++)
		{
			topography.edges[i][j] = 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= num; i++)
	{
		for (int j = i + 1; j <= num; j++)
		{
			printf("城市%d和城市%d之間的距離為:",i,j);
                        cin >> topography.edges[i][j];
                        topography.edges[j][i] = topography.edges[i][j];
		}
	}
	topography.n = num;
	return topography;
}

DFS

想要獲取最短的路線，使用蠻力法進行分析時需要先獲取所有的路徑。DFS 可以獲取所有的路徑，編寫的代碼如下。注意當獲取一條新路徑時，需要先把該路徑拷貝到下一個路徑，因為遞歸實現的 DFS 無法返回上一層遞歸執行填充操作。這么做是可行的，因為相鄰路徑不需要回溯的路線是一樣的，而回溯的部分會直接覆蓋原來的路線。

void DFS(int new_point, int cities_visited, int &path_index)    //深度遍歷 
{
	count++;
	if (cities_visited == topography.n)    //所有城市都走一遍 
	{
              path[path_index][cities_visited] = new_point;
              path[path_index][cities_visited + 1] = start_point;    //回到出發點
              for(int i = 1; i <= topography.n; i++)
              {
                    path[path_index + 1][i] = path[path_index][i];    //下一條路徑拷貝上一條 
              }
              path_index++;
	}
	else
	{
		for (int i = 1; i <= topography.n; i++)
		{
			if (visited[i] == 0)
			{
				visited[i] = 1;
                                path[path_index][cities_visited] = new_point;
                                DFS(i, cities_visited + 1, path_index);
                                visited[i] = 0;    //回溯到上一城市 
			}
		}
	}
	return;
}

主函數

接下來要計算所有路徑的長度，並且得出最短的路線。同時我們也需要確定 DFS 執行了多少次，方便我們分析時間復雜度。

int main()
{
	int cities_num = 0;    //城市數量 
	int path_num = 1;    //路徑數 
	int cities_visited = 1;    //已訪問城市數
	int path_index = 1;    //已獲取的路徑數 
	int min_path = 0;
	int min_sum = 9999999;
	int sum; 
	
	cout << "城市數量為："; 
	cin >> cities_num;
	//建圖
	topography = CreateMGraph(cities_num);
	for(int i = cities_num - 1; i > 1; i--)
	{
		path_num *= i;
	} 
        //初始化訪問狀態 
	for(int i = 1; i <= topography.n; i++) 
	{
		visited[i] = 0;
	}
	//出發 
	cout << "從哪個城市出發：";
	cin >> start_point; 
	visited[start_point] = 1;
	//獲取所有路徑 
	DFS(start_point, cities_visited, path_index);
	//得出最短路徑 
	ofstream outfile;
	outfile.open("11.txt");
	for (int i = 1; i < path_index; i++)
	{
		sum = 0;
		outfile << "路徑" << i << ":"; 
		for (int j = 1; j <= cities_num; j++)
		{
			sum += topography.edges[ path[i][j] ][ path[i][j + 1] ];
		}
		if(sum < min_sum)
		{
			min_sum = sum;
			min_path = i;
		}
	}
	cout << "\n最短路徑為路徑" << min_path << ":"; 
	for (int j = 1; j <= cities_num; j++)
	{
		cout << path[min_path][j] << " -> ";
		outfile << path[min_path][j] << " -> ";
		sum += topography.edges[ path[min_path][j] ][ path[min_path][j + 1] ];
	} 
	cout << path[min_path][cities_num + 1] << endl;
	cout << "最短路徑長度為:" << min_sum << endl;
	cout << "DFS 次數為:" << count;
        return 0;
}

獲取實驗數據

使用上述不同規模的城市拓撲分析TSP問題，得出的實驗數據如下。

城市規模(個)	路線數(條)	DFS次數(次)	數據文件大小(KB)
4	6	16	1
5	24	65	2
6	120	326	7
7	720	1957	45
8	5070	13700	348
9	40320	109601	3050
10	362880	986410	30260
11	3628800	9864101	330943

實驗數據分析

當使用蠻力法解決TSP問題時，需要考慮從某個城市出發的所有路線。由於城市之間彼此互通，城市拓撲是個完全圖，因此所有路線的數量規模是 n-1 個城市的全排列。
當輸入城市數量n時，會產生n!條路線，從而計算路徑長度的操作就需要執行n!次。也就是說蠻力法解決TSP 問題的 T(n) = n!，從而得出 O(n) = n!。無論是路線數、DFS 次數還是數據文件大小，都能明顯地體現這個趨勢。

路線數

DFS 次數

數據文件大小

總結

我一開始使用的是 C++ 的 new 運算符動態內存分配二維數組。但是除了城市規模 4 的數據下，其他的規模均無法正常運行，並且主函數 “return value 3221225477”。經過查閱資料得知這可能和未初始化的變量或指針引發的，但是我並不知道問題代碼及其原因，無奈之下只好直接定義了一個較大的二維數組進行存儲。
在測試城市規模 12 的數據時，由於棧區空間已經用盡，我打算使用動態內存分配使用堆區內存。結果需要分配的內存過多，導致所有內存空間全部被 C++ 占用，而 C++ 並沒有智能保護內存的機制，導致我的電腦直接宕機。在強行斷電並修復電腦之后覺定放棄 12 個城市的 TSP 問題求解。
蠻力法是解決問題明確而直接的手法，程序編寫較為簡單，思路是模擬情景下的所有可能性進行分析，在時間允許下是極佳的算法。但是在不同的情景下會存在效率低下的情況，我們會需要更加巧妙的算法提高解決問題的效率，期待接下來對算法的進一步學習，使用其他的算法對這些問題進行求解。

參考資料

《數據結構(C語言版|第二版)》—— 嚴蔚敏 李冬梅 吳偉民 編著，人民郵電出版社
《算法設計與分析(第二版)》——王紅梅，胡明 編著，清華大學出版社
Graphviz 安裝並使用 (Python)
C++文件和流
百度百科:TSP問題