IEEE浮點數標准

閱讀筆記:Computer System : A Programmmer's Perspective

基本概念

IEEE浮點數標准采用

\[V=(-1)^s\times M\times2^E \]

的形式表示一個數：

• 符號：s決定數的正負

• 尾數：M是一個二進制小數，范圍是1~2-epsilon 或者 0~1-epsilon

• 階碼：E的作用是對浮點數加權，權重為2的E次冪

下圖為單精度(32位)與雙精度(64位)的位示意圖：

單精度：

• s：1位
• exp：k=8位
• frac：n=23位

雙精度：

• s：1位
• exp：k=11位
• frac：n=52位

三個字段的編碼：

1. 單獨的s直接編碼符號s

2. k位的階碼字段：

   \[exp=e_{k-1}e_{k-2}\cdots e_{1}e_{0} \]

編碼E

3. n位的小數字段：
   \[frac=f_{n-1}f_{n-1}\cdots f_{1}f_{0} \]

編碼M

編碼的三種情況

規范化值

當exp的位即不全為0也不全為1時（即單精度范圍：1~254 雙精度范圍：1~2046），即為規范化的值。這種情況下，階碼字段可以被解釋為以偏置量（bias）形式表示的有符號整數

\[E=exp-bias \]

其中：exp即為階碼字段表示的值，並有

\[bias=2^{k-1}-1 \]

故對於單精度bias=127,雙精度bias=1023,由此可得：

\[E=exp-127 \]

或者是：

\[E=exp-1023 \]

因此指數的范圍：

\[E\in [-126,127] \]

或者是：

\[E\in [-1022,1023] \]

小數字段被解釋為描述小數值f，0≤f<1,即：

\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n} \]

尾數定義為：

\[M=1+f \]

非規范化值

當階碼域全為0時，表示的數是非規范化的，此時的階碼為

\[E=1-bias \]

故E=-126(單精度)或者E=-1022(雙精度)而尾數：

\[M=f \]

同理0≤f<1,即：

\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n} \]

用途：

• 表示數值0
• 表示非常接近0的數

特殊值

1. 無窮大

階碼全為1且小數字段全為0，根據符號位表示±∞

2. NaN

階碼全為1且小數字段不全為0，這不是一個數(Not a Number)

總結

值的表示：

\[V=(-1)^s\times M\times2^E \]

單精度：

1. 規范值:

   E=exp-bias

   bias=127

   M=1+f

2. 非規范：

   E=1-bias=-126

   bias=127

   M=f

雙精度：

1. 規范值：

   E=exp-bias

   bias=1023

   M=1+f

2. 非規范值

   E=1-bias=-1022

   bias=1023

   M=f

示例

Q1.將-3.33333333轉換為單精度表示

首先，將這個小數轉化為二進制的小數形式(利用×2法)

\[-3.33333333_{10}=-11.010101010101..._{2} \]

規范化：

\[-3.33333333_{10}=-1.1010101010101..._{2}\times2^1 \]

因此：

\[s=1 \]

\[exp=E+bias=1+127=128_{10}=1000 0000_{2} \]

\[M=1.1010101010..._2\Rightarrow f=1010101010..._2 \]

從而可以寫出單精度表示

\[11000000010101010101010101010101_2=C0555555_{16} \]

Q2.給出如圖8位二進制數在IEEE標准的浮點格式

首先對於規范化值：

\[E=exp-bias=exp-7 \]

對於非規范值：

\[E=1-bias=-6 \]

可以寫出如下表格：