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斯特瓦爾特定理
設已知△ABC及其底邊上A、B兩點間的一點P，則有
\[x^2=\frac{BC^2\cdot PA+AC^2\cdot BP}{AB}-PA\cdot PB \]
證明
\(\cos\angle BPC+\cos\angle APC=0\)
然后整理一下就得到了結論
角平分線
補充這個條件
\[\frac{\sin\ang BCP}{\sin \ang BPC}=\frac{PB}{BC}=\frac{PA}{AC}=\frac{\sin\ang PCA}{\sin \ang APC} \]
然后拿它和前面的斯特瓦爾特定理得到的式子聯立，解出
\[x=\sqrt{ab[1-(\frac{c}{a+b})^2]}=\frac{2ab}{a+b}\cdot\cos(\frac{C}{2}) \]
中線
補充這個條件
\[PB=PA \]
然后拿它和前面的斯特瓦爾特定理得到的式子聯立，解出
\[x=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \]
垂線
\[x=\frac{2S}{c} \]
其中\(S\)是三角形面積，\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\text{where}\ p=\frac{a+b+c}{2}\)