概率論要點

 

 

 

 

 

 

 

 

這個積分要化為二重積分才能做

就是先算[∫e^(x²)dx]^2

∫∫e^x²e^y²dxdy

=∫∫e^(x²+y²)dxdy再運用極坐標變換r^2=x^2+y^2 

dxdy=rdrdθ∫∫e^(x²+y²)dxdy=∫∫e^r^2*rdrdθ　(注意到θ∈[0,2π])

＝1/2e^r^2*2π＝πe^r^2+C

所以∫e^x²dx＝√（πe^r^2+C）

連續函數，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函數有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

可以想到e^(x²)dx再有一個x就可以，剛好在極坐標系上可以多一個rdrdθ，替換積分變量之后積分不變，相乘之后轉換為極坐標系下的不定積分最方便

 

X^2e^(-x^2)的積分怎么求

x^2*e^(-x^2)dx =-(x/2)d(e^(-x^2))由上式用"分部積分公式",得到前面一部分是-(x/2)*(e^(-x^2))l上面正無窮,下面負無窮,這一項的值為零,后面一部分還是一個反常（廣義）積分,就是積分(1/2)e^(-x^2)dx,從負無窮到正無窮.這一部分需要用到二重積分,不能直接計算,我們先算其平方,寫成兩個相同積分的乘積,然后把其中一個積分的積分變量由原來的x變成y.這樣就成了一個累次積分,再把這個累次積分轉換成二重積分,此時積分中的微分變成是dxdy,被積函數是(1/4)e^(-x^2-y^2)再引入一般的極坐標變換,變量變成r和θ,被積函數是(1/4)re^(-r^2),微分是drdθ,r從0到正無窮,θ是從0到2π.到這一步的積分你應該可以自己計算出來了,結果是π/4.最后再開方得到原來積分的結果是√π/2 .

 

 

 

 

 化最小值小於、最大值大於為1-最小值大於等於、1-最大值小於等於，（去尾部）

 

 

 

 

2.1 切比雪夫不等式與直觀感受

切比雪夫不等式是這么寫的：

其中 ， 是期望， 是標准差。

 

 

 

伯努利大數定律是300年前瑞士數學家伯努利潛心研究20年證明出來的，是人類歷史上第一個嚴格證明的大數定律。它是辛欽大數定律的特殊情況，不過由於它有一定的歷史意義並且二項分布的大數定律在日常生活中最為常見，所以編教材的人喜歡把這個大數定律單獨列出來。
切比雪夫大數定律和辛欽大數定律針對的是兩種不同的情況，誰也不是誰的特例。切比雪夫大數定律說的是一列獨立變量（可以不同分布）的均值收斂到一個常數，但前提是每個變量的期望和方差均存在且有限，並且滿足方差的平均值是樣本數n的高階無窮小這一額外條件。辛欽大數定律是說一列獨立同分布的隨機變量的均值收斂到一個常數，條件是分布的絕對期望存在且有限就夠了。
對兩個大數定律做一總結，就是切比雪夫大數定律不要求隨機變量有相同分布但是成立的條件更加嚴格，辛欽大數定律要求同分布不過是在比較弱的條件下就成立。

 

 

 

 

 

 

如果均值已知 滿自由度 /n 如果均值也不知道 那么一般來說要拿一個樣本去替代總體 自由度就少一個/n-1

 

 

 

 

 

 兩個獨立正態分布的隨機變量的線性組合仍服從正態分布。若總體服從正態分布 ,則樣本均值與樣本方差是相互獨立的。不僅正態分布兩個獨立，所有樣本取樣的均值和方差都獨立。定理，大學證明不了