迭代算法經典問題之漢諾塔

漢諾塔的傳說

相傳在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟里，一塊黃銅板上插着三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸於盡。

算法分析

該問題實際上是一個非常典型的迭代問題，所謂迭代問題就是原問題拆分的子問題實質上仍然是原問題，此外，每個迭代問題都應該有一個base case，即在此情況下停止迭代。

用迭代的角度來看漢諾塔問題：

• 把n個金片從第一個銀針上全部轉移到第三個銀針上的操作定義為函數Transfer(n,start=1,end=3)。
• 把n-1個金片從第一個銀針上全部轉移到第三個銀針上為函數Transfer(n-1,start=1,end=3)。
• Transfer(n-1,start=1,end=3)與Transfer(n,start=1,end=3)屬於一類問題。
• Transfer(n,start=1,end=2)與Transfer(n-1,start=1,end=3)有聯系，即在n-1個金片全部從第一根到第三根后，只需將第n個金片從第一根轉移到第二根，然后再把其他的n-1個金片放到它上面，即發生了Transfer(n-1,start=3,end=2)，最后得到Transfer(n,start=1,end=2)。
• Base case就是n=1時，直接將n=1的金片從1移到3.

Python代碼實現

def Transfer(n,start=1,end=3):
    if n:
        Transfer(n-1,start,6-start-end) # 將n-1個金片從start轉移到6-start-end
        print('Move disk %d from rod %d to rod %d  '%(n, start,end))
        Transfer(n-1,6-start-end,end)# 將n-1個金片從6-start-end轉移到end

output:

Transfer(3)
Move disk 1 from rod 1 to rod 3  
Move disk 2 from rod 1 to rod 2  
Move disk 1 from rod 3 to rod 3  
Move disk 3 from rod 1 to rod 3  
Move disk 1 from rod 2 to rod 1  
Move disk 2 from rod 2 to rod 3  
Move disk 1 from rod 1 to rod 3 

Transfer(4)
Move disk 1 from rod 1 to rod 2  
Move disk 2 from rod 1 to rod 3  
Move disk 1 from rod 2 to rod 3  
Move disk 3 from rod 1 to rod 2  
Move disk 1 from rod 3 to rod 0  
Move disk 2 from rod 3 to rod 3  
Move disk 1 from rod 0 to rod 3  
Move disk 4 from rod 1 to rod 3  
Move disk 1 from rod 2 to rod 3  
Move disk 2 from rod 2 to rod 1  
Move disk 1 from rod 3 to rod 3  
Move disk 3 from rod 2 to rod 3  
Move disk 1 from rod 1 to rod 2  
Move disk 2 from rod 1 to rod 3  
Move disk 1 from rod 2 to rod 3 

需要注意幾點：

• 將n-1個金片從start轉移到6-start-end，這里start不能用1代替，因為在迭代中start是動態變動的，而end=6-start-end則是動態的表示是除了start和end外的寶石針，6=1+2+3。
• 在將n-1個金片全部轉移到6-start-end后，將第n個金片轉移到end，因此可以用print輸出此時是將哪個金片從哪里移動到哪里，也可以理解為此時將第n個金片移動到了end。
• print輸出后（將第n個金片移動到了end后）,將n-1個金片從6-start-end轉移到既定的end。