摘要
就記錄了少部分題解，主要是太懶了（下次補坑可能就到明年建模了吧哈哈）
文章中一律以 BD 代替 Brief Description（題目簡述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）
初等模型
一、雙層玻璃窗的功效
BD：單層玻璃窗和雙層玻璃窗的熱量傳導進行對比，雙層玻璃窗能減少多少熱量損失？
SAT：簡單的熱傳導模型，不考慮熱對流和熱輻射，在室內外溫度恆定的假設下，用傅里葉熱傳導定律 \(Q=k\frac{\varDelta T}{d}\)，玻璃和空氣厚度的比例 \(h=\frac{l}{d}\)，再對兩者進行對比 \(\frac{Q_1}{Q_2}\)，最后列一張比例圖
二、划艇比賽的成績
BD：探究划艇比賽成績和槳手數量的關系
SAT：（物理老師見了要吐血的假設和模型） ，首先有兩個假設：\(\frac{l}{b}\) 和 \(\frac{w_0}{n}\) 設為常數，因為它們的變化不大。那么 \(\frac{l}{b}\) 不變可以得出艇的形狀是一樣的，推出 \(s\propto A^{\frac{2}{3}}\)【艇浸沒面積 \(s\) 和艇排水體積 \(A\) 成正比；\(\frac{w_0}{n}\) 不變得出 \(w_0\propto n\)【艇重 \(w_0\) 和槳手數 \(n\) 成正比】，又由於 \(w'=w_0+nw\)【總質量等於艇重加槳手數的總質量】，推出 \(w'\propto n\)【艇重 \(w_0\) 和 槳手數量 \(n\) 成正比】
SAT2：眾所周知，空氣阻力的公式 \(F=\frac{1}{2}C\rho SV^2\)【\(C\) 為空氣阻力系數，即常數；\(\rho\) 是空氣密度，一般情況也取常數；\(S\) 為物體迎風面積；\(V\) 為物體與空氣的相對運動速度】，那么根據空氣阻力的公式，可以類似的推導出艇的阻力公式 \(f\propto sv^2\)【\(f\) 是艇與水的摩擦阻力；\(s\) 是艇浸沒面積；\(v^2\) 是划艇速度的平方】
SAT3：假設所有槳手的體重相同，划艇的速度是勻速的，那么根據功率公式 \(P=FV\)，推導出 \(np\propto fv\)【\(np\) 是所有槳手的總功率；\(f\) 是艇與水的摩擦阻力；\(v\) 是划艇速度】，而 \(p\propto w\) 可以解釋為：槳手的功率 \(p\) 與肌肉體積、肺的提及成正比，對於身材均勻的運動員，肌肉、肺的體積與體重 \(w\) 成正比
STA4：比賽時間 \(t\) 與速度 \(v\) 成反比，把上述所有公式進行整合可得到 \(t\propto n^{-\frac{1}{9}}\)，即划艇比賽成績和槳手數量的關系模型
三、實物交換
BD：甲只有一定量的物品 X，乙只有一定量的物品 Y，所以他們之間想進行交換，用作圖的方法對雙方交換實物建立一個模型
STA：無差別曲線用於描述甲或乙對物品X和Y的偏愛程度（但下圖為甲的），甲有無數條無差別曲線（乙也一樣），越靠近右上角，代表甲的滿意程度越高。針對每一條無差別曲線，甲都是可以接受的，只是滿意程度的不同罷了，每條曲線上面的點代表甲最終獲得的物品X和Y的數量
STA2：而對於乙來說，假設他的無差別曲線的源點是 \(O'\)，相當於把甲的無差別曲線逆轉180°，然后把他們合並在一起（如下圖）。越靠近 \(O'\)點，甲越滿足，乙越不滿足，而越靠近 \(O\)點，情況正好相反，所以找到一條符合兩者滿足程度的曲線 \(AB\)【驗證：假設交換在 \(AB\) 以外的某一點 \(p'\) 進行，若通過 \(p'\) 的甲的無差別曲線與AB的交點為 \(p\)，甲對 \(p\) 和 \(p'\) 的滿意度相同，而乙對 \(p\) 的滿意度高於 \(p'\)，所以雙方滿意的交換不可能在 \(p'\) 進行】
STA3：等價交換原則，即雙方在兩種物品交換前后，擁有的價值都相同。假設交換前甲占有的物品 X 和乙占有的物品 Y 具有相同的價值，那么只要在 x 軸和 y 軸（原物品的數量）間連一條線（如下圖），那么這條線上所以的點都滿足等價交換原則
STA4：至於為何無差別曲線會向源點下凸，是因為物以稀為貴。當人們占有的 \(x\) 較小時，他們寧願以較多的 \(\varDelta y\) 換較少的 \(\varDelta x\)
四、汽車剎車距離與道路通行能力
BD：介紹交通流的主要參數及基本規律、汽車剎車距離模型、道路通行能力模型
PS：這一節內容的推導我覺得很簡略，比賽時肯定要另查文獻，所以我就干脆只放公式結論出來
STA：交通流的主要參數及基本規律。流量 \(q\)、速度 \(v\)、密度 \(k\) 顯然滿足 \(q=vk\)。車速與密度之間的一個線性模型 \(v=v_f\left( 1-k/k_j \right)\)【\(v_f\) 是密度 \(k=0\) 時的車速；\(k_j\) 是速度 \(v=0\) 時的密度】，兩個公式合並可以發現當 \(k=k_j/2\) 時流量最大，同理，當 \(v=v_j/2\) 時流量最大
STA2：汽車剎車距離模型。剎車距離與車速之間的模型 \(d=c_1v+c_2v^2\)【\(c_1、c_2\) 皆為比例系數】
STA3：道路通行能力模型。道路通行能力模型 \(N=\frac{1000}{c_1+c_2v+\frac{d_0}{v}}\)【\(d_0\) 是車身標准長度與兩車間的安全距離之和】，而最大的道路通行能力模型 $$N_m=\frac{1000}{c_1+2\sqrt{c_2d_0}}$$
五、估計出租車的總數
BD：已知出租車的牌號是按順序發放的，隨意記下10輛出租車牌號，根據這些數據估計出租車總數
STA：模型建立的方法有五種，分別是：平均值模型、中位數模型、兩端間隔對稱模型、平均間隔模型、區間均分模型，然后各模型的公式一看就懂了，挺簡單的 （懶得寫了） ，
STA2：相比較后發現各有各的好，但平均間隔模型是五個模型中最理想的模型
六、評選舉重總冠軍
BD：如何從同一個項目（舉重）的 8 個冠軍中選取一個總冠軍 ？
STA：先建立體重和舉重成績之間的數學模型，由此模型計算各個級別冠軍的舉重成績理論值，再算出實際值和理論值的比值，並根據比值構建一個數量指標作為折合成績，折合成績最大的冠軍即為總冠軍
七、解讀 \(CPI\)
BD：如題
STA：\(CPI\) 包含的概念有：環比價格指數、同比價格指數、累計價格指數、年價格增長指數
STA1：
環比價格指數：以上月為基調進行對比的價格指數
同比價格指數：以上年同月為基調進行對比的價格指數
累計價格指數：從1月起到發布月份為止累計的、以上年同一期間價格為基期進行對比的指數
年價格增長指數：每年12月的累計為1月至12月同比的平均值，以上年的平均值為基期進行對比的指數
差分方程與代數方程模型
一、貸款買房
BD：構建貸款購房模型
STA：概念一：單利和復利；概念二：整存整取和零存整取；概念三：等額本息貸款和等額本金貸款；概念四：其他
STA2：單利和復利。單利即死期存款，中間不取出，直到最后一年取出；復利也稱利滾利，中間可以取出，每年產生的利息算在下二年的本金中
STA3：整存整取和零存整取。前者是往銀行存一大筆錢，每年取出固定的資金；后者是每年往銀行存入固定的錢，最后一年全部取出（下圖分別是前者和后者）
STA4：等額本息貸款和等額本金貸款。兩者都是先貸全款。但前者一開始每月要還的款比后者小，而隨着月份的流逝，兩者還款金額逐漸相同，接着，前者還的款比后者越來越大（如下圖）
STA5：商業貸款和公積金屬於不同的的貸款類別，區別在於年利率不同；按揭年數上至30年，下至1年