矩陣論練習32（范數及范數的相容性）

范數定義

設\(V\)是數域\(F\)上線性空間，\(\nu\)是定義在\(V\)上的實值函數。如果\(\nu\)滿足：

1. 對任意\(\theta\ne\alpha\in V, \nu(\alpha)>0\)
2. 對任意\(\alpha\in V, k\in F, \nu(k\alpha)=|k|\nu(\alpha)\)
3. 對任意\(\alpha, \beta\in V, \nu(\alpha+\beta)\le\nu(\alpha)+\nu(\beta)\)
   則稱\(\nu\)是\(V\)上的范數，定義了范數的線性空間稱為賦范線性空間。

范數的相容性定義

設\(C^{s\times m}, C^{m\times n}, C^{s\times n}\)中定義了范數\(\lVert\cdot\rVert_a, \lVert\cdot\rVert_b, \lVert\cdot\rVert_c\)，若對\(\forall A\in C^{s\times m}, B\in C^{m\times n}\)

\[\lVert AB\rVert_c\le \lVert A\rVert_a \lVert B\rVert_b \]

則稱范數\(\lVert\cdot\rVert_a,\lVert\cdot\rVert_b,\lVert\cdot\rVert_c\)是相容的。

說明：題目中通常三種范數定義在同一個線性空間，范數也一樣。

題目

設\(\lVert\cdot\rVert\)為\(C^{n\times n}\)上相容的范數，試證：
（1） \(\lVert I\rVert\ge 1\)；
（2） 若\(A\)為可逆陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則\(\lVert A^{-1}\rVert^{-1}\le |\lambda| \le \lVert A\rVert\)。

解答

（1）根據范數的相容性，有

\[\lVert I\rVert = \lVert II\rVert \le \lVert I\rVert \lVert I\rVert \]

最左面和最右面消去 \(\lVert I\rVert\)，得\(\lVert I\rVert \gt 1\)。

（2）設\(\eta\)是\(A\)對於於\(\lambda\)的特征向量，由於\(\lVert\cdot\rVert\)定義在\(C^{n\times n}\)上，則擴展\(\eta\)成矩陣，令\(B=(\eta,\theta, \cdots,\theta)_{n\times n}\)，則

\[\begin{aligned} AB=(A\eta, \theta,\cdots,\theta)&=(\lambda \eta, \theta, \cdots, \theta) &=\lambda(\eta, \theta,\cdots,\theta) &=\lambda B \end{aligned} \]

根據范數相容性，有

\[\lVert AB\rVert = \lVert\lambda B\rVert = |\lambda|\lVert B\rVert \le \lVert A\rVert \lVert B\rVert \]

兩邊約去\(\lVert B\rVert\)，得 \(|\lambda|\le \lVert A\rVert\)。
同樣的方法，利用互逆矩陣的對應特征值互為倒數，可以證明\(\lVert A^{-1}\rVert^{-1}\le |\lambda|\)。