Johnson全源最短路

例題：P5905 【模板】Johnson 全源最短路

首先考慮求全源最短路的幾種方法：

• Floyd：時間復雜度\(O(n^3)\)，可以處理負權邊，但不能處理負環，而且速度很慢。
• Bellman-Ford：以每個點為源點做一次Bellman-Ford，時間復雜度\(O(n^2m)\)，可以處理負權邊，可以處理負環，但好像比Floyd還慢？
• dijkstra：以每個點為源點做一次dijkstra，時間復雜度\(O(nmlogm)\)，不能處理負權邊，但比前面兩個快多了。

好像……只有dijkstra還有希望？但負權邊處理不了真是很棘手啊。

一種方法是讓每條邊都加上一個數\(x\)使得邊權為正，但考慮下圖：

\(1\)到\(2\)的最短路應為：\(1 -> 3 -> 4 -> 2\)，長度為\(-1\)。如果我們把每條邊的邊權都加上\(5\)：

此時的最短路是：\(1 -> 5 -> 2\)，就不是實際的最短路了，所以這種方法行不通

注：經本人研究，應該是兩條路徑進過的邊的數量不同而導致的

接下來，就該 Johnson 登場啦！Johnson 其實就是用另一種方法標記邊權啦。

首先來看看實現方法：我們新建一個虛擬結點（不妨設他的編號為0），由他向其他的所有結點都連一條邊權為\(0\)的邊，然后求0號節點為源點的單源最短路，存到一個\(h\)數組中。然后，讓每條邊的權值\(w\)變為\(w+h_u-h_v\)，這里\(u\)和\(v\)分別為這條邊的起點和終點。然后再以每個點為源點做 dijkstra 就OK了。

Q：那這么說，Dijkstra 也可以求出負權圖（無負環）的單源最短路徑了？
A：沒錯。但是預處理要跑一遍 Bellman-Ford，還不如直接用 Bellman-Ford 呢。

如何證明這是正確的呢？

首先，從\(s\)到\(t\)的路徑中隨便取出一條：

\[s -> p_1 -> p_2 -> \cdots -> p_k -> t \]

則這條路徑的長度為：

\[(w_{s,p_1}+h_s-h_{p_1})+(w_{p_1,p_2}+h_{p_1}-h_{p_2})+\dots+(w_{p_k,t}+h_{p_k}-h_t) \]

簡化后得到：

\[w_{s,p_1}+w_{p_1,p_2}+\cdots+w_{p_k,t}+h_s-h_t \]

可以發現，不管走哪條路徑，最后都是\(+h_s-h_t\)，而\(h_s\)和\(h_t\)又是不變的，所以最終得到的最短路徑還是原來的最短路徑。

到這里已經證明一半了，接下來要證明得到的邊權非負，必須要無負權邊才能使 dijkstra 跑出來的結果正確。根據三角形不等式（就是那個三角形里任意兩條邊的長度之和大於等於另一條邊的長度），新圖上的任意一條邊\((u,v)\)上的兩點滿足：\(h_v \le w_{u,v}+h_u\)，則新邊的邊權\(w_{u,v}+h_u-h_v \ge 0\)。所以新圖的邊權非負。

正確性證明就是這個亞子。

代碼實現（注意處理精度問題，該開ll的時候開ll）：

#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 5005
#define MAXM 10005
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m;
int vis[MAXN];
long long h[MAXN],dis[MAXN];
bool f[MAXN];
struct graph
{
	int tot;
	int hd[MAXN];
	int nxt[MAXM],to[MAXM],dt[MAXM];
	void add(int x,int y,int w)
	{
		tot++;
		nxt[tot]=hd[x];
		hd[x]=tot;
		to[tot]=y;
		dt[tot]=w;
		return ;
	}
}g;//鏈式前向星
bool SPFA(int s)//這里用了Bellman-Ford的隊列優化
{
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;++i) h[i]=INF,f[i]=false;
	h[s]=0;
	f[s]=true;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int xx=q.front();
		q.pop();
		f[xx]=false;
		for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
			if(h[g.to[i]]>h[xx]+g.dt[i])
			{
				h[g.to[i]]=h[xx]+g.dt[i];
				if(!f[g.to[i]])
				{
					if(++vis[g.to[i]]>=n) return false;//注意在有重邊的情況下要記錄入隊次數而不是松弛次數
					f[g.to[i]]=true,q.push(g.to[i]);
				}
			}
	}
	return true;
}
void dijkstra(int s)
{
	priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF,f[i]=false;
	q.push(make_pair(0,s));
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int xx=q.top().second;
		q.pop();
		if(!f[xx])
		{
			f[xx]=true;
			for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])
				if(dis[g.to[i]]>dis[xx]+g.dt[i])
				{
					dis[g.to[i]]=dis[xx]+g.dt[i];
					if(!f[g.to[i]])
						q.push(make_pair(dis[g.to[i]],g.to[i]));
				}
		}
	}
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		g.add(u,v,w);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) g.add(0,i,0);//建虛擬節點0並且往其他的點都連一條邊權為0的邊
	if(!SPFA(0))//求h的同時也判了負環
	{
		printf("-1");
		return 0;
	}
	for(int u=1;u<=n;u++)
		for(int i=g.hd[u];i;i=g.nxt[i])
			g.dt[i]+=h[u]-h[g.to[i]];//求新邊的邊權
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dijkstra(i);//以每個點為源點做一遍dijkstra
		long long ans=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)//記錄答案
			if(dis[j]==INF) ans+=1ll*j*INF;
			else ans+=1ll*j*(dis[j]+(h[j]-h[i]));
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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