前置知識
定義1，g(n)＝從樹根到節點n的代價。當算法處理到某個節點時，g(n)是可以精確計算的。
定義2，h*(n)＝從節點n到目標節點的優化路徑的代價。一般不可知。
定義3，f*(n)＝g(n) + h*(n)是包含節點n的路徑的最小代價。一般不可知。
定義4，h(n)＝從節點n到目標節點的優化路徑的估計代價。
定義5，f(n)＝g(n) + h(n)是包含節點n的路徑的估計最小代價。
假設，對於任意的節點n而言，已知h*(n)，可以構建出一個算法直接找到最優解，即處理每一次選擇時，都選擇f*(n)代價最小的節點。但是，對於任意一個算法而言，h*(n)不可知，我們只能夠估計h*(n)的值，這也是爬山法和Best-Frist算法中評價函數或啟發式函數的作用。
算法本質
A*算法保證所估計h*(n)的值h(n)滿足：h(n) ≤ h*(n)。
一旦滿足這個條件，當使用使用Best-first策略搜索時，如果該方法選中的節點是目標節點，那么該節點表示的解就是當前問題的最優解。
定理1，使用Best-first策略搜索，且滿足h(n) ≤ h*(n)，如果算法選擇的節點是目標節點, 則該節點表示的解是優化解。
證明1：只需要證明，f*(t)是最優解代價即可，n為此時可以進行擴展的所有節點，即f*(t)是{f*(n)}中的最小值。
- 由於節點t是目標節點，所以h*(t) = h(t) = 0，f(t) = f*(t) = g(t)。
- 假設：{f*(n)}中的最小值為M，M∈{f*(n)}。
- 由於 f*(t)∈{f*(n)}，故而，f(t) ≥ M。
- 由於此時算法選擇的節點是節點t，即在當前可以擴展的節點中，t是估計總代價最小的那一個，故而 f(t) ≤ f(n) ，而對於所有當前可以擴展的節點n而言，由於h(n) ≤ h*(n)，所以 f(n) ≤ f*(n)，而{f*(n)}中的最小值為M，f(t) ≤ M。
- 由 f(t) ≥ M 以及 f(t) ≤ M 可知，f(t) = M。
算法拓展
可以將A*算法的h(n)作兩種極端情況的考慮。
- 對於任意的節點n，h(n) = 0，此時算法退化，每一次進行選擇時，選擇當前g(n)最小也就是當前路徑長度最小的點。
- 對於任意的節點n，h*(n) = 0，正如本文之前提到的，直接可以選擇得到，不會走其他路徑。
由此，可以明確的是，盡量使得h(n)接近h*(n)，越接近，算法越佳。
例子說明
