最短路徑(Dijkstra算法)

當用圖結構來表示通信、交通等網絡，權重代表距離或者成本，尋找最短路徑就成為了一個重要的任務。

給定帶權網絡G=(V;E)，源點s，對於其他所有頂點v，尋找s到v的最短路徑，連接成一顆最短路徑樹。可以證明，最短路徑的任一前綴也是最短路徑。

這一性質，可以理解為，對於一顆最短路徑樹，按到起點的距離排序，刪除后面k個頂點以及關聯邊后，殘存的子樹T‘依然是最短路徑樹。因此，只需要找到一個新的距離源點s最近的頂點，即可擴充子樹，最終成為全圖的最短路徑樹。

考慮優先級搜索的框架，當前頂點尚未發現的鄰接頂點，其優先級可以定義為其父親的優先級加上聯邊的權重，即priority(u)=priority(parent(u))+weight(v,u)。與Prim算法類似，每次只需要將優先級最高的頂點以及聯邊加入子樹，最終即可得到最短路徑樹。

template<typename Tv, typename Te> struct Dijkstra
{
    virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* g, int uk, int v)
    {
        if (g->status(v) == UNDISCOVERED)//對於uk每個尚未被發現的鄰接頂點v
            if (g->priority(v) > g->priority(uk) + g->weight(uk, v))//u到Vk的距離看做u的優先級
            {
                g->priority(v) = g->priority(uk) + g->weight(uk, v);//更新優先級數
                g->parent(v) = uk;//更新父節點
            }
    }//每次都是尋找離開始節點s最近的節點，僅當新節點才更新，每個已發現節點的priority都是到s的最短距離
};

與Prim算法不同之處在於，Prim算法僅考慮子樹到鄰接頂點的聯邊權重；Dijkstra算法需要考慮的是到源點s的最短路徑，基於前綴仍然是最短路徑這一前提，只需要簡化為，distance(s,u)=distance(s,v)+distance(v,u)。對應優先級，將邊的權重作為優先級，即可實現。最后，沿着樹邊即可得到一顆最短路徑樹。