引言
在組合計數中q-模擬有什么用？它是研究組合統計量如何分布的工具
維基詞條 https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog
網上找到的課件 http://people.qc.cuny.edu/faculty/christopher.hanusa/courses/636fa12/Documents/636fa12ch92c.pdf
q-analog學習資源，推薦！！相當於q-模擬詞條 https://www.math.upenn.edu/~peal/polynomials/q-analogues.htm
定義
一個數\(c\)的q-模擬就是：一個表達式\(f(q)\)，滿足\(lim_{q\to1}f(q)=c\)
常見的q-模擬往往是級數的形式，或者級數的四則運算（有時級數退化為多項式）
例子
正整數\(n\)
就是形式級數\(f(q)=1+q+q^2+..+q^{n-1}\)
滿足\(lim_{q\to1}f(q)=n\)
記作\([n]_q\)
逆序對研究和q-factorial
\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} \cdots[1]_{q}=:[n]_{q} ! \]
\[lim_{q\to1}[n]_q!=|S_n| \]
q-binomial
\[\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[k]_{q} ![n-k]_{q} !} \]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \]
中心對稱
\[\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}= \left[\begin{array}{l} \ \ \ n \\ n-k \end{array}\right]_{q} \]
q-binomial的Pascal恆等式是
\[\left[\begin{array}{l} m \\ r \end{array}\right]_{q}=q^{r}\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r \end{array}\right]_{q}+\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r-1 \end{array}\right]_{q} \]
和
\[\left[\begin{array}{c} m \\ r \end{array}\right]_{q}=\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r \end{array}\right]_{q}+q^{m-r}\left[\begin{array}{c} m-1 \\ r-1 \end{array}\right]_{q} \]
q-multinomial
\[\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[m_1]_{q} ![m_2]_{q} !...[m_k]_{q} !} \]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right) \]
q-exponential
\[e_{q}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q} !} \]
q-模擬的一些性質
下面的等式當\(q\to 1\)時都變成著名的組合恆等式
q-二項式定理
\[\sum_{k=0}^{n} q^{\tbinom{k }{2}}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}x^{k}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1+x q^{i}\right) \]
q-Vandermorde定理
\[\left[\begin{array}{c} m+n \\ k \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{k} q^{(m-i)(k-i)}\left[\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right]_q\left[\begin{array}{c} n \\ k-i \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N} \]
q-朱世傑恆等式
\[\left[\begin{array}{c} m+n+1 \\ n+1 \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{m} q^{i}\left[\begin{array}{c} n+i \\ n \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N} \]
例題
n-排列中的inversion和major index
\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} ! \]
q-binomial應用
有很多，但是看起來都差不多，比如
這里是說把r個不可區分的球投進m個不可區分的垃圾箱里，每個垃圾箱最多容納n個，(有的垃圾箱可以為空，每個球都在某一個垃圾桶中)。問你方案數。
一種理解是把這個當成有限制的分拆partition：summmands個數最多是m，summands大小最大是n。
q-multinomial
記\(M_\alpha\)是【多重集\(\{m_1個1，m_2個2，...,m_k個k\}\)構成的全排列】組成的集合
\[\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q} \]
Catalan數
記\(W_n\)是那些長度為\(2n\)的01卡特蘭序列(從左往右遇到的0總比1多，注意！！這里不要弄反了不然下面等式等不了)的集合
\[\sum_{\pi \in W_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\frac{1}{[n+1]_q} \left[\begin{array}{c} 2n \\ n \end{array}\right]_q \]
舉例，n=2, 0011,0101 maj分別是0，2
\[q^0+q^2=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot \frac{\left(1-q^{4}\right)\left(1-q^{3}\right)}{(1-q)\left(1-q^{2}\right)} =\frac{1}{1+q+q^2}\cdot \left(1+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}\right) =1+q^2 \]
降位數
定義一個排列\(\sigma\)的降位個數\(des(\sigma)=:\sum\limits_{\sigma_i>\sigma_{i+1}}1\)
長度為\(n\)降位個數為\(k-1\)的排列構成的集合為\(A_{n,k}\) 大小 \(a_{n,k}=:|A_{n,k}|\)
Eulerian多項式定義
\[E_n(q)=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{1+\mathrm{des}(\pi)}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n,k}q^k} \]
舉例，n=3 123,132,213,231,312,321 降位數分別是0，1，1，1，1，2
\[E_3(q)=q^1+4q^2+q^3 \]
