q-analog 初探

q-analog 相關的東西常以各種意想不到的方式出現在一些問題中。本篇與其說是它的學習筆記，不如說是某些時刻遇到它相關的問題時的記錄。

定義1 q模擬（q-analog）：定義一個自然數 \(n\) 的q模擬為 \(1+q^1+q^2+\ldots+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}\)，記為 \([n]_q\)。

為什么說是模擬呢，因為 \(\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q=n\)。后文的很多恆等式在 \(q=1\) 時退化成一些常見的恆等式，可能就是因為這個吧。

另外，值得注意的是，這里的 \(q\) 可以看作是一個變量，則 \([n]_q\) 是關於 \(q\) 的多項式。這一點在后文組合意義中非常有用。

定義2 q階乘（q-factorial）：定義一個自然數 \(n\) 的q階乘為 \(\prod_{i=1}^n [i]_q\)，記為 \([n]_q!\)。

這個東西就有組合意義了。我們知道 \(n\) 階排列逆序對的生成函數就是 \(\sum_{p\in S_n}x^{inv(p)}=\prod_{i=0}^n(1+x+x^2\cdots x^i)=[n]_x!\)。考慮從 \(i-1\) 階排列加一個元素變成 \(i\) 階排列時，這個元素對逆序對數的貢獻在 \([0,i)\) 選。

定義3 q組合（q-binomial）：定義 \(\dbinom{n}{m}_q=\dfrac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}\)。

它有一個組合意義是，多重集 \(\{0^m,1^{n-m}\}\) 全排列逆序對的生成函數，即 \(\sum_{p\in S_{m,n-m}}\ q^{inv(p)}=\dbinom{n}{m}_q\)。

和組合數類似的定義使得它具有一些和組合數類似的性質。列舉一些。

對稱性：

\[\dbinom{n}{m}_q=\dbinom{n}{n-m}_q \]

遞推式：

\[\dbinom{n}{m}_q=\dbinom{n-1}{m-1}_q+q^m\dbinom{n-1}{m}_q=q^{n-m}\dbinom{n-1}{m-1}_q+\dbinom{n-1}{m}_q \]

q-二項式定理：（博主目前還不知道可不可以定義q-廣義二項式系數和q-廣義二項式定理qwq）

\[\prod_{i=0}^{n-1}(1+xq^i)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}_qx^iq^{\tbinom i 2} \]

q-范德蒙德卷積：

\[\dbinom{n+m}{k}_q=\sum_{i=0}^kq^{(n-i)(k-i)}\dbinom{n}{i}_q\dbinom{m}{k-i}_q \]

q-上指標求和：

\[\dbinom{n+m+1}{m+1}_q=\sum_{i=0}^nq^i\dbinom{m+i}{m}_q \]

發現這些東西性質都和組合數極為相似，就是暫且不知道有什么應用。

但光是這些，應該就可以解決一小些問題了。可以看出，q-階乘的定義和逆序數關系密切，所以它可以用來表示一些組合對象的逆序數的生成函數。

例如神秘的q-卡特蘭數 \(\dfrac{\tbinom{2n}{n}_q}{[n+1]_q}=\sum_{p\in W_n}q^{inv(p)}\)，其中 \(W_n\) 代表長為 \(2n\) 的，任一前綴0的個數總比1的個數多的01序列組成的集合。

還比如，如果有一個 \(n\) 維向量空間定義在一個大小為 \(q\) 的有限域上，則其 \(m\) 維子空間個數即為 \(\dbinom{n}{m}_q=\dfrac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}\)。

了解這個主要可以注意到它的遞推性質，就可以較快速的計算某些問題的答案了。

update:翻到了一篇令人震撼的qwaszx's blog，瞬間覺得自己才疏學淺……