學習筆記-線代

一、行列式

行列式的概念

概念：數   不同行不同列元素乘積的代數和

二階行列式的計算方法：

 三階行列式的計算方法：

 排列：由1，2...，n組成的有序數組稱為一個n階排列，通常用j_1，j_{2 ，}...j_n表示n階排列。

逆序：一個排列中，如果一個大的數排列在一個小的數的前面，就稱這兩個數構成一個逆序。

 逆序數：一個排列的逆序的總數稱為這個排列的逆序數。

 如果一個排列的逆序數是偶數，則稱這個排列是偶排列，否則稱為奇排列。

 n階行列式：不同行不同列的n個元素的乘積的代數和。

    當j_1，j_2 ，...j_n是偶排列時，該項前面帶正號，當j_1，j_2 ，...j_n 時奇排列時，該項前面帶負號。

上三角以及下三角行列式的計算方法：

行列式的性質

　　1、經轉置行列式值不變

　　2、某行有公因數k可把k提出

　　　　　特別地，若某行元素全為0，則D=0

　　3、兩行互換行列式的值變號

 　　　　　　特別地，兩行相同=>D=0兩行成比例=>D=0

　　4、某行所有元素都是兩個數的和，則可把行列式寫成兩個行列式之和

　　5、某行的k倍加到另一行，行列式的值不變

注意：1.不要與矩陣初等變換相混。

　　　2、不要與矩陣運算相混

展開公式

行列式按行（列）展開公式：

　　余子式： M_ij

　　代數余子式：A_ij=(-1)^i+jM_ij

展開公式

　　1、按行按列展開：

　　2、某一行的所有元素與另一行相應元素的代數余子式乘積之和等於0。

重要公式：

　　　　1、主對角線上下三角：a₁₁a₂₂...a_nn

　　　　2、副對角線上下三角：（-1）^n(n-1)/2a_1na_{2 n-1}...a_n1

　　　　3、

　　　　4、

克拉默法則：

　　　　如果系列行列式D=|A|≠0，則方程組有唯一解，且：

 　　　　　　　　　　其中D_i=

　　　　推論1，若齊次方程組　　　　　　　　　　　的系數行列式不為0，則方程組只有一組零解x₁=0，x₂=0，...，x_n=0。

 　　　　推論2，若齊次方程組（2）有非零解，則它的系數行列式必為0.

強化階段

1、 數字型（展開公式）

　　把第1行的k倍加到某i行

　　把每一行都加到第1行

　　逐行相加

2、證明題用到歸納法時

　　當只與一項有關系時，用方法①，當與兩項有關系時，用方法②。

　　①1、驗證n=1時，命題正確

　　　2、設n=k時，命題正確

　　　3、證明n=k+1時，命題正確

　　　4、得證

 　　②1、驗證n=1，n=2命題正確

　　　2、設n<k命題正確

　　　3、證明n=k命題正確

　　　4、得證

3、抽象型

　　行列式性質恆等變形

　　矩陣公式，法則恆等變形，E恆等變形

　　特征值，相似

　　注意：

4、應用

　　特征多項式，A^*,A^-1,相關，無關，正定，克拉默法則。

5、證|A|=0

　　Ax=0有非零解

　　反證法     用A^-1找矛盾

　　r(A)<n

　　0是特征值     |A|=∏λ_i

　　|A|=-|A|

二、矩陣

概念、運算（乘法）

m✖n個數排列成如下m行n列的一個表格：

 　　稱為是一個m✖n矩陣，當m=n時，稱為n階矩陣或n階方陣，簡記A。

如果一個矩陣的階所有元素都是0，即

 　　稱這個矩陣為零矩陣，簡記0.

如A和B都是m✖n矩陣，稱A和B是同型矩陣，設A和B都是m✖n矩陣，如

 　　稱矩陣A和B相等，記A=B。

設A為n階矩陣，其所有元素構成的行列式，稱為方陣A的行列式，記為|A|。

　　注意：1、僅方陣才有行列式|A|。

　　　　　2、A=0與|A|=0不要混。

矩陣的加法（其中A，B都為m✖n階矩陣）：

 數與矩陣相乘：數k與矩陣A的乘積

運算法則：

　　加法：A，B，C同型

　　　　　A+B=B+A

　　　　　(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

　　　　　A+0=0+A=A

　　　　　A+(-A)=0

數乘運算：

　　　　k(mA)=m(kA)=(mk)A

　　　　(k+m)A=kA+mA

　　　　k(A+B)=kA+kB

　　　　1A=A,0A=0

乘法運算：

　　A——m✖s，B——s✖n

　　AB=C——m✖n

　　a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_isb_sj=C_ij

注意：

　　1、AB≠BA

　　2、由AB=0不能推出A=0或B=0

　　3、由AB=AC且A≠0不能推出B=C

單位矩陣E：

運算法則：

　　（AB)C=A(BC)=ABC

　　   A(B+C)=AB+AC

　　   (A+B)C=AC+BC

　　   AE=A,EA=A

　　   A——n階：A.A=A²

　　　　　　　A.A...A(k個A相乘)=A^k

轉置：將A矩陣的行列互換得到的新矩陣稱為A的轉置矩陣，記為A^T

　　運算法則：

　　　　　　（A+B）^T=A^T+B^T

　　　　　　  (kA)^T=kA^T

　　　　　　   (AB)^T=B^TA^T

　　　　　　  (A^T)^T=A

定理（行列式乘法公式）：設A，B都是n階矩陣，則|AB|=|A|.|B|

伴隨矩陣，可逆矩陣

A-n階矩陣，行列式|A|所有的代數余子式A_ij所構成的如下矩陣：

　　　　主對角線互換，副對角線變號。

伴隨矩陣的公式：AA^*=A^*A=|A|E

　　　　　　　　(kA)^*=k^n-1A^*

　　　　　　　 　|A^*|=|A|^n-1

　　　　　　　  （A^*)^*=|A|^n-2A

　　　　　　　  （A^*）^-1=（A^-1）^*=A/|A|

可逆矩陣：對於n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使AB=BA=E則稱矩陣A是可逆的，稱B是A的逆矩陣。

命題：如矩陣A是可逆的，那么A的逆矩陣是唯一的，記作A^-1

定理：A可逆<=>|A|≠0

推論：A，B是n階矩陣，如AB=E，則A^-1=B

逆矩陣的公式法則：
　　1、如A可逆，則A^-1也可逆，且（A^-1)^-1=A

　　2、如A可逆，且k≠0，則kA可逆，且（kA）^-1=A^-1/k

　　3、如A，B均可逆，則AB也可逆，且（AB）^-1=B^-1A^-1    特別的（A²）^-1=(A^-1)²,(Aⁿ)^-1=(A^-1)ⁿ

　　4、如A可逆，則A^T也可逆，且（A^T)^-1=(A^-1)^T

 注意：

　　1、如A可逆，則|A^-1|=1/|A|

　　2、當A,B,A+B都可逆時，一般（A+B）^-1≠A^-1+B^-1

求逆：

　　1、定義法 AB=E

　　2、用伴隨 A^-1=A^*/|A|

　　3、初等行變換：

 4、分塊：

 對角矩陣：

注意：

初等變換，初等矩陣

矩陣的初等變換：
　　1、用非0常數k乘A某行的每個元素

　　2、互換A中兩行元素的位置

　　3、把A中某行所有元素的k倍加到另一行對應的元上

初等矩陣：

　　單位矩陣經過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。

 關鍵點：

　　初等矩陣P左乘矩陣A，其乘積PA就是矩陣A作一次與P同樣的行變換。

　　初等矩陣P右乘矩陣A，其乘積AP就是矩陣A作一次與P同樣的列變換。

 初等矩陣的逆：均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣。

行階梯矩陣：

　　1、如果有零行，則零行在矩陣的底部。

　　2、每個非零行的主元（即該行最左邊的第1個非0元）所在列下面元素都是0。

 行最簡：

　　一個行階梯矩陣，如果還滿足：非零行的主元都是1，且主元階在列的其他元素都是0

重要結論：

A可逆=A可表示為若干初等矩陣的乘積。

分塊矩陣

 設A，B分別是m階，n階，則有：

若A為m✖n階矩陣，B為n✖s階矩陣，則：AB=A（b₁b₂...b_s)=（Ab_1,Ab₂...,Ab_s)

方陣的行列式

1、|A^T|=|A|

2、|kA|=kⁿ|A|

3、|AB|=|A|.|B|            |A²|=|A|²

4、|A^*|=|A|^n-1

5、|A^-1|=1/|A|

6、

 秩（矩陣）

1、k階子式：A-m✖n，任取k行與k列（k<=m,k<=n)位於交叉點的k²元素，按A中的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。

 2、矩陣的秩：A-m×n，如存在r階子式D≠0，且所有r+1階子式（如存在）全為0，則稱矩陣A的秩為r，記作r（A）=r。並規定零矩陣的秩為0.

 定理：經初等變換矩陣的秩不變。

 　　r（A）=A的列向量秩=A的行向量的秩

 　　r（A）=r<=>A中存在r階子式不為0，而每一個r+1階（如果有）子式全為0.

 　　r（A）>=1<=>A≠0

 矩陣秩的公式：

1、r（A^T）=r（A）

2、r（kA）=r（A）k≠0

　　r（0E-A）=r（A)

　　r（A-E）=r（E-A）

 3、r（A+B）<=r（A）+r（B）

4、r（AB）<=min（r（A），r（B））

　　若A可逆

　　r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）

5、r（A^TA）=r（A）

 6、A——m✖n，B——n✖s且AB=0，則r（A）+r（B）<=n

7、

若A~B ，則r（A）=r（B）

　　　　　r（A+kE）=r（B+kE）

正交矩陣

A-n階，滿足AA^T=A^TA=E，稱A為正交矩陣。

 （1）A是正交矩陣<=>A^T=A^-1

 （2）A是正交矩陣=>|A|=1或-1

 （3）內積

　　如（α，β）=0稱α與β正交

強化階段

一、概念，運算

　　乘法

　　αβ^T，βα^T，αα^T，β^Tα，α^Tβ，α^Tα

　　分塊

　　求Aⁿ

　　（1）如r（A）=1，有A=αβ^T      =>A²=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=λA,λ=β^Tα∑a_ii    跡     A^_n =λ^n-1A

　　（2）

 二、伴隨矩陣，可逆矩陣

　　AA^*=A^*A=|A|E         求逆，證可逆

 　　求A^*的方法

　　　（1）直接法：用定義       不要丟+，-號，不要排錯隊

　　　（2）間接法：A^*=|A|A^-1

 三、初等變換，初等矩陣

四、矩陣的秩

　　行列式，相關，無關，方程組的解。

五、當秩為1時，有如下結論：

三、向量

概念，運算

n維向量：n個數a₁,a₂,...,a_n構成的有序數組稱為n維向量。

　　a_i稱為向量的第i個分量（i=1，2，...，n)

如果向量的所有分量都是0，就稱其為零向量，記作0=（0，0，...，0）^T

 設n維向量：

加法與數乘滿足：

線性表示

定義：m個n維向量α₁，α₂，...，α_m，及m個實數k₁，k₂，...，k_m。稱：k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m是向量α₁，α₂，...，α_m 的一個線性組合，k₁，k₂，...，k_m稱為這個線性組合的系數。

 定義：如果向量β能表示為α₁，α₂，...，α_m的線性組合，即存在一組數k₁，k₂，...，k_m使β=k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m則稱向量β可以由α₁，α₂，...，α_m線性表出（示）。

 定理：向量β可以由α₁，α₂，...，α_m線性表示<=>任意實數k₁，k₂，...，k_m 使k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=β

 已知α，β₁，β₂，β₃，γ₁，γ₂是n維向量，若α可由β₁，β₂，β₃ 線性表示，β₁，β₂，β₃ 可由γ₁，γ₂ 線性表示，則α可由γ₁，γ₂ 線性表示。

 定義：設向量組（Ⅰ）α₁，α₂，...，α_s；（Ⅱ）β₁，β₂，...，β_t；若（Ⅰ）中每一個向量α_i（i=1，2，...，s）均可由（Ⅱ）線性表示，則稱向量組（Ⅰ）可由向量組（Ⅱ）線性表示。若向量組（Ⅰ）和（Ⅱ）可以互相線性表示，則稱向量組（Ⅰ）和(Ⅱ）等價。

相關、無關

定義：對m個n維向量α₁，α₂，...，α_m ，若存在不全為0的實數k₁，k₂，...，k_m 使k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=0成立，則稱向量組α₁，α₂，...，α_m 線性相關，否則稱其線性無關。

定理：n維向量α₁，α₂，...，α_{m  線性相關}

　　<=>存在不全為0的k₁，k₂，...，k_m 是k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=0

　　<=>存在不全為0的k₁，k₂，...，k_m 使

　　<=>齊次方程組

　　　　有非0解

 　　　　<=>γ（α₁，α₂ ，...，α_n ）<m

 　　推論：

　　　　1、n個n維向量α₁，α₂，...，α_n   相關<=>|α₁，α₂，...，α_n |=0。

　　　　2、n+1個n維向量必線性相關。

α 相關<=>α=0

α₁，α₂相關<=>α₁，α₂ 共線

α₁，α₂ ，α₃相關<=>α₁，α₂ ，α₃ 共面

 推論3：如α₁，α₂ ，...，α_s  線性相關，則α₁，α₂ ，...，α_s  ，...,α_t必線性相關
 推論4：

定理：向量組α₁，α₂ ，...，α_s  （s>=2)線性相關<=>至少有一個向量α_i可由其余向量α₁，...α_i-1 ，α_i+1...，α_s 線性表出。

 定理：如n維向量α₁，α₂ ，...，α_s   線性無關，而α₁，α₂ ，...，α_s β線性相關，則向量β必能由α₁，α₂ ，...，α_s 線性表示且表示法唯一。

秩（向量組）

向量組的秩

定義：在向量組α₁，α₂ ，...，α_s 中，如存在r個向量α_i1，α_i2 ，...，α_ir 線性相關，再添加任一個α_j（j1，2，...，s），向量組α_i1，α_i2 ，...，α_ir  α_j就線性相關，則稱α_i1，α_i2 ，...，α_ir  是向量組α₁，α₂ ，...，α_s  的一個極大線性無關組。（子集合，無關，再添加就相關）

 定理：如α_i1，α_i2 ，...，α_ir  與α_j1   α_j2 ...，α_jt 都是向量組α₁，α₂ ，...，α_s  的極大無關組，則r=t。

定義：向量組α₁，α₂ ，...，α_s  的極大線性無關組中所含向量的個數γ稱為向量組的秩，記為γ（α₁，α₂ ，...，α_s  ）=γ。

　　只有零向量的向量組，規定其秩為0.

 　　極大線性無關組的等價定義

　　設向量組α_i1，α_i2 ，...，α_ir  是向量組α₁，α₂ ，...，α_s 的 一個部分組，且滿足：

　　　　（1）α_i1，α_i2 ，...，α_ir   線性無關。

　　　　（2）任一個向量α_j（j1，2，...，s）都能由α_i1，α_i2 ，...，α_ir  線性表示。

定理：如α₁，α₂ ，...，α_s 可由β₁ β₂ ...β_t 線性表示，則γ（α₁，α₂ ，...，α_s ）<=γ（β₁ β₂ ...β_t  )。

正交化

　　①

　　②

強化階段

1、證α₁α₂...α_s無關

　　（1）定義法

 　　(2)　　重要結論：

2、線性表示

　　做證明題方法：

　　（1)構造方程組，證明方程組有解

　　（2）找出兩個條件：

　　（3）證k≠0（能表出）

　　（4）反證法（不能表出）

四、方程組

一、Ax=0   基礎解系   n-r（A）

定理：A_m✖n  X=0有非0解<=>r(A)<n

　　　　　　　　　　　　<=>A的列向量組線性相關。

 推論：

　　1、當m<n時，AX=0必有非0解

　　2、當m=n時，Ax=0有非零解<=>|A|=0

定理：若Ax=0系數矩陣的秩r(A)=r<n則Ax=0有n-r個線性無關的解，且Ax=0的任一個解都可由這n-r個線性無關的解線性表出。

Ax=0的 基礎解系

 定理：

二、Ax=b   有解判定  解的結構

解的性質

（1）

 （2）

定理：

 定理（解的結構）

三、方程組的應用

解方程組手段：

　　同解變形：1、將兩個方程的位置互換

　　　　　　　2、將某個方程乘以一個非0的常數

　　　　　　　3、將一個方程的k倍加到另一個方程上

五、特征值

一，特征值，特征值向量

定義：設A是n階矩陣，α是n維非0列向量且Aα=λα，則稱λ是矩陣A的特征值，α是矩陣A對應於特征值λ的特征向量。

由Aα=λα，α≠0

　=>(λE-A)α=0    (λE-A)x=0 

　=>α是齊次方程組(λE-A)x=0 的非0解。

 （1）由|λE-A|=0，求特征值λ_i  共n個（含重根）

   (2)對（λ_iE-A）x=0求基礎解系，即特征值λ_i的線性無關的特征向量，寫通解得λ_i所有的特征向量

 定理：A-n階

重要結論：

 　　1、如α₁，α₂都是矩陣A對應於特征值λ的特征向量，則α₁+α₂≠0時，α₁+α₂仍是矩陣A對應於特征值λ的特征向量。

　　2、若α₁，α₂ 分別是矩陣A不同特征值λ₁和λ₂的特征向量，則α₁+α₂ 不是矩陣A的特征向量。

二、相似矩陣

設A，B都是n階矩陣，如存在可逆矩陣P是P^-1AP=B，就稱矩陣A相似於矩陣B，B是A的相似矩陣記成A~B。

相似的基本性質：

　　1、A~A

　　2、如A~B，則B~A。

　　3、如A~B，B~C，則A~C。

相似對角化     P^-1AP=Λ

　　如A~Λ，則稱矩陣A可相似對角化。

定理：A~Λ<=>A有n個線性無關的特征向量

推論：如A有n個不同的特征值，則A~Λ。

定理：A~Λ<=>λ是A的k重特征值，則λ有k個線性無關的特征向量。

三、實對稱矩陣

概念：主對角線不看，其他部分關於主對角線對稱分布。

定理：實對稱矩陣必可相似對角化。

定理：實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量相互正交。

 定理：實對稱矩陣必存在正交矩陣Q使Q^-1AQ=Q^TAQ=Λ

解題基本步驟：

　　1、求出A的特征值λ₁，λ₂，λ₃

　　2、求出對應的特征向量α₁，α₂，α₃

　　3、改特征向量為γ₁，γ₂，γ₃

　　　　（1）如特征值不同，只需單位化。

　　　　（2）若特征值有重根。

　　　　　　①如特征向量已正交，只需要單位化。

　　　　　　②如特征向量不正交，需Schmidt正交化。

　　4、構造正交矩陣Q=(γ₁，γ₂，γ₃ )

強化階

求可逆矩陣P使P^-1AP=Λ

　　1、預處理

　　2、求特征值λ₁λ₂λ₃

　　3、求特征向量α₁α₂α₃

　　4、構造可逆P

六、二次型

一、基本概念

1、二次型及其矩陣表示

2、標准形

　　只有平方項，沒有其他不同項。

 3、規范性

　　是標准型，並且系數為1，-1，0中的一個。

 4、正慣性指數，負慣性指數

　　標准形系數正負的個數，正慣性指數用p，負慣性指數用q

 5、二次型的秩

　　r(f)=r(A)

 6、坐標變換

　　系數行列式可逆。

7、合同

　　如C^TAC=B,C-可逆矩陣，稱矩陣A和B合同，記作

　　定理1、

　　定理2、對任一二次型x^TAx，都存在坐標變換可將其化為標准形，即

　　定理3（慣性定理）二次型經坐標變換其正負慣性指數都不變。

二、標准形（1、配方法2、正交變換法）

1、配方法：先配x₁，再配x₂,最后配x₃,按順序進行。

2、正交變換法：就是轉換為求特征值，和特征向量問題。

三、正定二次型

定義：設二次型f(x)=X^TAX,如，恆有f(x)>0，則稱f為正定二次型，二次型矩陣A稱為正定矩陣。

定理：經坐標變換不改變二次型的正定性。

定理（正定的充分必要條件）

　　　X^TAX正定

　　<=>p=n

　　<=>(即存在可逆C，使C^TAC=E)

　　　　　　　　　　亦A=D^TD,D-可逆

　　<=>A的特征值全大於0

 　　<=>A的順序主子式全大於0