QwQ……不知不覺這么久沒寫過博客了
感覺自己線代好菜啊……准備這些天去聽聽吉爾伯特爺爺的公開課，好好自學一下
大概看了看時間安排，感覺一天兩節課正好夠
為了方便督促自己，每天把筆記貼在這里好了
1.方程組的幾何解釋
每一個\(n\)元線性方程組都可以用矩陣表示。除此之外還可以對方程組做以下解釋：
行圖像：每個方程的解都可以表示為\(n\)維空間內的一個超平面，所有超平面的交就是整個方程組的解。（對於系數矩陣可逆的情況，所有超平面的交應當恰好是一個點。）
列圖像：把方程組的每一列都看成一個列向量，那么方程組就可以看成\(n\)個列向量線性組合形成對應的常數向量。方程組的解代表每個列向量對應的系數。
在不考慮求解方程組時，列圖像的思考方向還會產生另一個問題：列向量的所有線性組合能否充滿整個\(n\)維空間？
求解方程組的系統方法：消元法
2.矩陣消元
對於方程組\(Ax=b\)，可以用一系列初等變換將\(A\)變為上三角矩陣\(U\)，之后直接倒序回代即可得到整個方程組的解。通常稱為高斯消元（Gauss Elimination）。
主元（pivot）不能為0。為了找到主元，可能還需要做一些行交換。
行列式等於主元之積
如果某一次無法找到任何主元，則說明此方程組無解或解不唯一，同時也說明\(A\)是奇異矩陣。
一個矩陣左乘一個行向量可以得到矩陣的行向量的一個線性組合。推廣到多行的情況，發現高斯消元過程中的行變換可以用左乘一個初等矩陣表示。
（初等矩陣（Elementary Matrix）：單位矩陣經過一次初等變換后得到的矩陣）
例如令一個3*3矩陣的第二行減去第一行的3倍，只需令原矩陣左乘初等矩陣\(\left[\matrix{1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1}\right]\)。
令原矩陣依次左乘高斯消元過程中各次變換對應的初等矩陣，即可得到對應的上三角矩陣\(U\)。令\(T\)表示所有初等矩陣的乘積，則有\(TA=U\)。
更進一步地，如果高斯消元直接得到了單位矩陣\(E\)，那么根據之前的結論，就會有\(TA=E\)，也就是\(T=A^{-1}\)。（這個結論可以用來簡單地解釋高斯消元求逆矩陣的原理。）
第三課先咕一會QwQ
4. A的LU分解
\(LU\)分解：對於一個矩陣\(A\)，尋找下三角矩陣\(L\)與上三角矩陣\(U\)滿足\(A=LU\)。
事實上還有\(LDU\)分解：\(A=LDU\)（\(D\)表示對角矩陣）
仍然考慮消元法，令\(T\)表示所有單位矩陣的乘積，則有\(TA=U\;\Rightarrow\;A=LU\)
實際上確實可以取\(L=T^{-1}\)，因為組成\(T\)的每個初等矩陣的逆仍然是下三角矩陣。
如果不存在行交換操作，可以直接把消元乘數寫進\(L\)中，因為倒序相乘的過程中非對角線元素不會互相影響。
朴素的高斯消元和高斯-約當消元都需要\(\Theta(n^3)\)次操作。（大約是\(\frac{n^3}3\)）
如果能事先處理出\(A=LU\)，就可以用\(\Theta(n^2)\)次操作來處理一個右側向量了。
“轉置與置換(Permutations)”
置換矩陣可以用於進行一次乃至許多次行互換。（事實上它也被譯作排列矩陣）
置換矩陣的逆，兩個置換矩陣的乘積仍然是置換矩陣（顯然）
Group
事實上，置換矩陣的逆就是它的轉置。
5. 轉置-置換-向量空間R
置換矩陣(Permutation Matrix)是用於進行行互換的矩陣
如上所述，對一個可逆矩陣進行消元時，如果遇到了主元為0的情況，就需要進行行互換才能繼續下去。
（在數值計算時，特別小的非零主元也會對數值穩定性產生負面影響，這時也需要進行行互換操作來保證數值穩定性。）
\(LU\)分解時，對於需要進行行變換的情況，可以記錄下過程中對\(A\)進行的行交換，這時\(A=LU\)也就變成了\(PA=LU\)。（這個形式對任意\(A\)都成立；這是\(LU\)分解的一般形式。）
置換矩陣是行重新排列了的單位矩陣。（單位矩陣當然也是一個置換矩陣）
置換矩陣的一些很顯然的性質：
- 每一個\(n\)階置換都一一對應一個\(1\)~\(n\)的排列。
- 所有置換矩陣都可逆，並且它的逆就是它的轉置。（\(P^{-1}=P^T\)）
- p.s.滿足\(AA^T=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)）的矩陣並不一定是置換矩陣，在很久之后會再討論它們。
（咕咕咕
- p.s.滿足\(AA^T=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)）的矩陣並不一定是置換矩陣，在很久之后會再討論它們。
- 置換矩陣的行列式只可能是\(\pm 1\)，更具體地說是\((-1)^{排列的逆序對數}\)。
轉置：\(A^T\)即為\(A\)翻轉后的矩陣，即\(a^T_{ij}=a_{ji}\)。
一個\(n\times m\)矩陣的轉置是一個\(m\times n\)的矩陣。
對稱矩陣(Symmetric Matrix)：顧名思義，滿足\(A^T=A\)的矩陣。
性質：\(\forall A\)（甚至不需要是方陣），\(AA^T\)一定是對稱矩陣。
（證明很簡單：\(\left(AA^T\right)^T = \left(A^T\right)^T A^T=AA^T\)）
向量空間部分待填QwQ