如果彎曲（旋轉）是一種維度，世界大不相同
世界是幾維的？三維的？四維的？11維的？
開始討論之前先來想一下，維度的定義是什么？它有什么特點？
通常我們所說的維度指的是用來描述空間的尺度，如果把時間也作為了一個維度，我們能夠直接感知到的就是四維空間（上下、左右、前后、早晚）。
如果直接用三維空間來定義我們的世界，顯然很多幾何形狀是無法解釋的通的，比如“莫比烏斯帶”和“克萊茵瓶”。
從0維的點到三維空間，可以發現，維度升高時，會經歷從點到線、再到面再到“體”的變化。從高維度降低時，高維度的空間投影到低維度上會縮減成線或是點。時間在三維空間上的投影無法觀察（物質的衰敗算是可以看到的），因此，時間作為一個維度來理解並不合適。
傳統中對於維度的定義都是直線式的，這導致我們對於復雜結構的描述缺少必要的參數，同時在數學的表達上陷入了復雜公式的泥沼中。
當世界以旋轉（彎曲）的方式出現的時候，我們也應該以旋轉的思維來理解它。正如我們在等距螺旋中所看到的一樣，原以為的均速運動形成的螺旋，實際上是速度比保持不變所形成。
以旋轉（彎曲）為維度，重新來看一下，我們的世界，將是下面的樣子：
零維——是一個點。通常意義上，它本身並無大小，無論放大還是縮小，對它來說沒有意義。
一維——點在單一方向上發生移動，移動的軌跡就一條直線。對於一維的物體，可以用長度來進行描述。
二維——除了前后移動，還可以左右移動時，就像是橫豎交織的線條，最終可以形成一個平面。這就是二維的空間，從測量的角度來說，除了長度以外開始有了寬度。
如果沒有外力做用，物體會保持靜止或均速直線運動（一維空間）。只有當受到側向力量的影響，運動方向才會發生改變，比如受引力的影響，直線軌跡會變成圓或者螺旋。所以彎曲的曲線是受外力作用而形成，這個外力可以用一個維度來表示，就是旋轉的維度。
從這里開始，我們對於維度的認識開始分化。
圓周運動需要有引力來支持才能保持，從這一點上看，它與直線相比是增加了一個維度。螺旋與圓的關系，就是螺旋中存在外擴的直線速度。直線運動不需要有外力來維持，所以螺旋與圓相比，是同一個維度。
三維空間
二維世界向三維世界擴展時，有兩種選擇，第一種是增加一個直線維度，第二種是增加一個旋轉的維度。
1、增加直線維度
增加一個直線維度后，前面提到的二維形狀是什么樣子。
平面的紙張增加一個直線維度后，相當於增加了厚度，變成立方體。
圓弧增加一個直線維度，會變成（空心的）圓柱面。站在這個圓柱面上，我們可以左右前后移動，當我們向前水平移動時，會回到起點，因為，這里有一個旋轉的維度在里面。
螺旋線增加一個直線維度，會形成螺旋狀的曲面。
2、增加旋轉的維度
接下來看看旋轉的維度對二維形狀的改變。
一張紙卷曲起來，會形成圓柱面，這是二維平面變成三維曲線最簡單的方式。因此，圓柱面既可以看作是平面卷曲的效果，也可以看作是圓弧沿直線拉伸的效果。
圓周在旋轉時，有兩種情況，一種是以圓心點為旋轉中心，繞直徑旋轉一周得到球面。另一種情況是以圓外一點為旋轉中心，旋轉一周得到（空心）環狀曲面。
從上圖可以看到，球面與環狀面都通過增加一個旋轉維度來實現的，它們屬於同一維度的形狀。
兩個相垂直並相切的圓弧經過旋轉，可以得到馬鞍形狀，其實它是上面提到的環狀曲面的局部切片。
當平面在卷曲的過程中，伴隨着的某一方向上的移動，會形成類似於扭曲的彩條形狀。這種扭曲的條狀與圓柱面屬於相同的維度。
四維空間
若在前面提到的圓柱面、空心球面、扭曲的彩條面上增加垂直方向上的維度，圓柱面會變成實心，空心球會變成實心球。由於垂直方向上的維度可以將圓柱面變成無限“厚”，因此，理論上它將填滿整個空間，與最簡單的三維直線空間看起來完全一樣。
這就好像大海深處某個位置有一個漩渦，只有處在其中時，可以感受到運動的方向不一樣，從外面看，都是相同的實心水體。
上面提到的幾種三維空間，增加“厚度”這個維度之后都將填滿整個空間，不再是我們討論的重點，我們繼續關注增加旋轉維度情況下的空間變化。
前面我們把圓柱面稱為三維空間，在這個空間里增加直線維度—厚度，可以升級為四維。那么按照旋轉的方式增加維度，會是什么樣的效果？
按照圖中上方小圓方向對圓柱面進行扭曲，可以得到下方的圖形。
圓柱面拆開旋轉180°再接起來，得到一個很有名的形狀——莫比烏斯環。
旋轉的度數再增加一些，可以發現，每當增加180°的奇數倍時，圓柱面的正反面是相聯通的，增加偶數倍時，正反面是不聯通的。
使用CAD掃略命令（SWEEP），分別旋轉多個180倍的度數，俯視圖如下圖所示：
立體圖如下圖所示：
盡管這些曲面的旋轉度數不同，但它們都在同一個旋轉維度下連續變化得到的，所以它們屬於同一個空間維度。如果旋轉可以被定義為一個維度，則上面這些曲面都屬於4維度的曲面。
五維空間
通過旋轉增加維度時，空間沒有被完全充滿，於是維度就有了進一步升高的空間。
莫比烏斯帶增加一個旋轉的維度，就可以形成克萊茵瓶。剛想明白這個問題時激動了半天，上網一搜，別人早就證明了，連動畫效果都有了（晚了一步哈）。這個話題就不多說了，總之，克萊茵瓶是屬於五維度的空間。
通過旋轉來扭曲空間時，並不總會像克萊茵瓶那樣，形成封閉的空間曲面，發散的狀態下，會像是螺旋線的多重疊加。
通過旋轉增加維度時，旋轉的方向會有多種的選擇，所以會有多種的形狀出現，很難畫得完整，目前（我本人）的技術有限，就不再多畫了。
六維空間
給克萊茵瓶增加一個垂直於表面的直線“厚度”維度，空間將再次被充滿，所以六維度空間看起來會與三維度空間是相同的。
三維空間有三個直線軸向，在這三個直線軸向上分別疊加旋轉的維度，剛好還是六維度的形式，大膽設想，對於復雜空間的數學定義可以是（x,y,z,α,β,γ）這樣的坐標系來表示。后三者α,β,γ分別代表了以不同的圓心建立的坐標系，以角度來實現定位。
坐標系的應用舉例
地球表面的位置點，我們可以用經緯度來表示，比如我國的大地原點，陝西省涇陽縣永樂鎮，位置在：北緯34°32′27.00″，東經108°55′25.00″。如果沒有高度維度，我就會停留在這個（α,β）構成的二維地球表面。當人類能夠離開地面，或是深入水中的時候，高度才有了意義，我們的空間就成為（α,β,z）構成的三維空間。
地球繞大陽旋轉，本身又自轉，在大陽系的維度中，地球表面上的點所經過的軌跡就像是多重旋轉角度的莫比烏斯環。如果繼續增加旋轉中心點的定義，我們的維度還會有更多，但是精減合並下來，還是（x,y,z）就可以表達，只是公式上會復雜很多。
從直線到圓，只有增加額外的“引力”才能發生扭曲。若扭曲並不充分，就會有多種多樣的曲線出現，很多的二次曲線、多次曲線，都可以看作是扭曲不充分，或是中間加入了新的“引力”原素，而形成的軌跡。總體來看，空間描述中六維度已經是客觀描述的上限，或者說是可以圖形表達出來的極限。更多的11維度、平行世界的想法，個人表示無法理解，只能呵呵了。