常用排列組合公式

1. 排列公式

\(n\) 個相異物件取 \(r\)（\(1 \leq r \leq n\)）個的不同排列總數，為

\[P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) \]

特別地，若 \(n=r\)，得

\[P_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r! \]

人們常約定把 \(0!\) 作為 \(1\)。當 \(r\) 不是非負整數時，記號 \(r!\) 沒有意義。

2. 組合公式

\(n\) 個相異物件取 \(r\) 個（\(1 \leq r \leq n\)）個的不同組合總數，為

\[C_r^n = \binom{n}{r} = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!} \]

當 \(r=0\) 時，按 \(0!=1\) 的約定，算出 \(\binom{n}{0} = 1\)，這可看作一個約定。

只要 \(r\) 為非負整數，\(n\) 不論為任何實數，都有意義。故 \(n\) 可不必限制為自然數。例如：

\[\binom{-1}{r} = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r \]

3. 組合系數與二項式展開的關系

組合系數 \(\binom{n}{m}\) 又常稱為二項式系數，因為它出現在下面熟知的二項式展開的公式中：

\[(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^i b^{n-i} \]

利用這個關系式，可得出許多有用的組合公式。例如，令 \(a=b=1\)，得

\[\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n \]

令 \(a = -1，b = 1\)，則得：

\[\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\dbinom{n}{n} = 0 \]

另一個有用的公式是

\[\dbinom{m+n}{k} = \sum_{i=0}^{k}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{k-i} \]

它是由恆等式 \((1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n\) 即

\[\sum_{j=0}^{m+n} \dbinom{m+n}{j} x^j = \sum_{j=0}^{m} \dbinom{m}{j} x^j \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j}x^j \]

比較兩邊的 \(x^k\) 項的系數得到的。

其實，這條公式從直觀上理解要更容易，即有兩堆物品，第一堆有 \(m\) 件，第二堆有 \(n\) 件，要從這兩堆物品中取出 \(k\) 件，有多少種取法？顯然，我們可以先在第一堆取 \(i\) 件（\(0 \leq i \leq k\)），然后在第二堆取 \(k - i\) 件，則取法有 \(\binom{m}{i} \binom{n}{k-i}\) 種，把 \(i\) 的所有取值結果相加，即得上面的公式。

4. 物品分堆

\(n\) 個相異物件分成 \(k\) 堆，各堆物件數分別為 \(r_1, \cdots, r_k\) 的分法是

\[\frac{n!}{r_1! \cdots r_k!} \]

此處，\(r_1, \cdots, r_k\) 都是非負整數，其和為 \(n\)。注意：這里要計較堆的次序，例如，若有 5 個物體 \(a，b，c，d，e\) 分成 \(3\) 堆，則 \((ac)，(d)，(be)\) 和 \((be)，(ac)，(d)\) 應算作兩種不同的分法。如果不考慮次序，還需要再除以 \(k!\)。

此式常稱為多項式系數，因為它是 \((x_1+\cdots+x_k)^n\) 的展開式中 \(x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k}\) 這一項的系數。