負反饋 —— 拉扎維 第二版第八章筆記

反饋簡介

上圖是反饋系統的一般表示方式。其中\(H(s)\)叫做前饋網絡，\(G(s)\)叫做反饋網絡。\(H(s)\)的輸入信號為\(X(s)-G(s)Y(s)\)叫做反饋誤差。一個設計良好的反饋系統中，反饋誤差應該應該接近於零，從而使輸出\(Y(s)\)為輸入\(X(s)\)的精確比例復制。

由於反饋誤差接近於零，因此在前饋網絡\(H(s)\)的輸入端可以認為是虛地

\(Y(s)/X(s)\)叫做閉環傳遞函數，\(H(s)\)叫做開環傳遞函數。因此該系統的閉環傳遞函數可以寫作：

\[{{Y(s)} \over {X(s)}}={{H(s) \over {1+G(s)H(s)}}} \tag{8.1} \]

圖片中可以認識到反饋系統的四個部分：

1. 前饋放大器；
2. 檢測輸出的方式；
3. 反饋網絡；
4. 產生反饋誤差的方式，既減（加）法器。

例子	描述
	輸出端又兩電阻分壓，再反饋回輸入，屬於電壓反饋
	輸出信號為電流，通過檢測串聯小電阻\(R_1\)的壓降來檢測電流，並反饋會輸入，屬於電流反饋
	輸出端通過分壓形成反饋電壓，屬於電壓反饋；差分對可以對電壓做差，來產生反饋誤差。
	輸出端通過分壓形成反饋電壓，屬於電壓反饋；反饋的電壓\(V_F\)接在輸入管源極，由於電流\(I_D\)是\(V_{in}-V_F\)的函數，因此是通過對電壓做差來產生反饋誤差。
	反饋到輸入的信號與輸入端口處於同一節點時，可以實現電流減法。

反饋信號與輸入信號的關系：電壓相減形式獲得反饋誤差時，輸入信號和反饋信號應處於兩個不同節點；電流相減形式獲得反饋誤差時，輸入信號和反饋信號應處於同一節點。

反饋的優勢

1. 降低開環系統的增益靈敏度。開環系統的增益會被很多因素影響，例如工藝、溫度、偏置、電源等；但使用負反饋會大大降低其他因素對增益的影響，從而提供一個穩定增益；
2. 終端阻抗變化。負反饋可以改變輸入/輸出端口的阻抗，可將相應端口阻抗變化為原來的\(1/(LP+1)\)倍或\((1+LP)\)倍，其中\(LP\)為系統環路增益。
3. 帶寬變化。3dB帶寬可以增加\((1+LP)\)倍，但增益帶寬積不變，由於增益減小了\((1+LP)\)倍。
4. 降低非線性。

反饋結構

電壓-電壓反饋

• 閉環增益：

由圖中可以得到\(V_F=\beta V_{out}\)，\(V_e=V_{in}-V_F\)，\(V_{out}=A_0V_e\)，因此

\[{V_{out} \over V_{in}}={A_0 \over {1+\beta A_0} }={A_0\over 1+LP}\tag{8.2} \]

其中，環路增益\(LP\)為\(\beta A_0\)，可以看出總的增益減小到原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

• 輸出電阻：

上圖為計算輸出電阻的等效圖，輸入信號被置零。\(R_{out}\)代表前饋放大器的輸出阻抗。由圖可得\(V_F=\beta V_X\)，\(V_e=-\beta V_X\)，\(V_M=-\beta A_0V_X\)，並且電流可以表示為\(I_X=[V_X-(-\beta A_0V_X)]/R_{out}\)，則有

\[{{V_X} \over {I_X}}={R_{out} \over {1+\beta A_0}}={R_{out}\over 1+LP} \tag{8.3} \]

可以看出輸出電阻減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍，使系統接近於理想電壓源。

• 輸入電阻：

上圖為計算輸入電阻的等效圖。\(R_{in}\)代表前饋放大器的輸入阻抗。由圖得\(V_e=I_XR_{in}=V_X-V_F\)，\(V_F=\beta A_0V_e\)，則有

\[{{V_X}\over{I_X}}=R_{in}(1+\beta A_0)=R_{in}(1+LP) \tag{8.4} \]

可以看出輸入電阻增加為原來的\((1+LP)\)倍，使電路接近於理想電壓放大器。

電流-電壓反饋

• 閉環增益：

閉環增益為

\[{I_{out}\over {V_{in}}}={G_m\over 1+G_mR_F}={G_m\over 1+LP} \tag{8.5} \]

閉環增益表現為跨導，跨導減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

• 輸出電阻：

輸出電阻為

\[{V_X\over I_X}=R_{out}(1+G_mR_F)=R_{out}(1+LP)\tag{8.6} \]

輸出電阻增大為原來的\((1+LP)\)倍。

• 輸入電阻：

輸入電阻為

\[{V_X\over I_X}=R_{in}(1+G_mR_F)=R_{in}(1+LP)\tag{8.7} \]

輸入電阻增加為原來的\((1+LP)\)倍

電壓-電流反饋

• 閉環增益：

閉環增益為

\[{V_{out}\over I_{in}}={R_0\over{1+g_{mF}R_0}}={R_0\over 1+LP}\tag{8.8} \]

閉環增益表現為阻抗，阻抗減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

• 輸出電阻：

輸出電阻為

\[{V_X\over I_X}={R_{out}\over{1+g_{mF}R_0}}={R_{out}\over{1+LP}}\tag{8.9} \]

輸出電阻減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

• 輸入電阻：

輸入電阻為

\[{V_X\over{I_X}}={R_{in}\over{1+g_{mF}R_0}}={R_{in}\over{1+LP}}\tag{8.10} \]

輸入電阻減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

電流-電流反饋

• 閉環增益：

閉環增益為

\[{I_{out}\over{I_{in}}}={A_I\over{1+\beta A_I}}={A_I\over{1+LP}}\tag{8.11} \]

• 輸出電阻：

輸出電阻增加為原來的\((1+LP)\)倍

• 輸入電阻：

輸入電阻減小為原來的\((1+LP)^{-1}\)倍。

反饋對噪聲的影響

在四種反饋類型中，如果反饋網絡不引入噪聲，則輸入參考噪聲電壓和電流均保持不變。實際上，反饋網絡本身包含有電阻和MOS管，會使總的噪聲性能變差。

加載效應

實際上反饋網絡的非理想效應會使得前饋網絡的傳遞函數發生變化，從而改變最終的閉環增益。因此我們需要將加載效應的影響等效進電路之中。

電壓-電壓反饋

電壓-電壓反饋使用G模型來表示，其中\(G_{11}\)表示前饋網絡輸入導納\((Z_{in})^{-1}\)，\(G_{22}\)表示前饋網絡輸出阻抗\(Z_{out}\)，\(G_{21}\)表示前饋網絡的電壓增益\(A_0\)，\(G_{12}\)表示前饋網絡的內部反饋；\(g_{11}\)表示反饋網絡的輸入導納，\(g_{22}\)表示反饋網絡的輸出阻抗，\(g_{21}\)表示反饋網絡的反饋系數\(\beta\)，\(g_{12}\)表示反饋網絡的內部反饋。

為了方便求出該電路，首先將所有環路“單向化”，既去掉前饋網絡和反饋網絡的內部反饋，令\(G_{12}=g_{12}=0\)。在輸入環路使用KVL，在輸出節點使用KCL。

\[V_{in}=V_e+g_{22}{V_e\over{Z_{in}}}+g_{21}V_{out}\tag{8.12} \]

\[g_{11}V_{out}+{V_{out}-A_0V_e\over{Z_{out}}}=0\tag{8.13} \]

求得閉環增益，並表示為熟悉的形式\(A_{v,open}/(1+\beta{A_{v,open}})\):

\[A_{v,close}={V_{out}\over{V_{in}}}={{A_0\over{(1+{g_{22}\over{Z_{in}}})(1+g_{11}Z_{out})}}\over{1+g_{21}}{A_0\over{(1+{g_{22}\over{Z_{in}}})(1+g_{11}Z_{out})}}}\tag{8.14} \]

則開環增益和反饋系數可以表示為：

\[A_{v,open}={A_0\over{(1+{g_{22}\over{Z_{in}}})(1+g_{11}Z_{out})}}\tag{8.15} \]

\[\beta =g_{21}\tag{8.16} \]

可以看出，開環增益縮小了\([(1+{g_{22}\over{Z_{in}}})(1+g_{11}Z_{out})]^{-1}\)倍，相當於\(A_0\)乘以系數\({Z_{in}/(Z_{in}+g_{22})}\)和\(g_{11}^{-1}/(g_{11}^{-1}+Z_{out})\)，可以發現兩系數表現為分壓器的形式，因此加載效應可以體現為以下形式：

其中，\(g_{11}\)可以通過反饋網絡輸出開路得到，\(g_{22}\)可以通過反饋網絡輸入短路得到。

• 電路示例：

原電路	考慮加載效應的開環電路

左圖是原電路圖，可以看出是電壓-電壓負反饋。右圖是考慮了加載效應的開環等效圖。則開環增益為：

\[A_{v,open}={V_Y\over{V_{in}}}={-R_{D1}\over{R_F||R_S+1/g_m}}\{-g_m[R_{D2}||(R_F+R_S)]\}\notag \]

由於\(A_{v,close}={A_{v,open}/(1+g_{21}A_{v,open})}\)，因此只需要找到\(g_{21}\)即可得到閉環增益。在電壓-電壓反饋考慮加載效應的模型中，關於\(g_{21}\)在反饋網絡中有

\[V_{fb}=I_{fb}g_{22}+V_{out}g_{21}\notag \]

其中，\(V_{fb}\)為反饋網路的輸出電壓（位於前饋網絡輸入端），\(I_{fb}\)為反饋網絡的輸出電流。因此為了求得\(g_{21}\)，可令\(I_{fb}=0\)，此時在電路中求得

\[\beta=g_{21}={V_{fb}\over{V_{out}}}|_{I_{fb}=0}={R_s\over{R_s+R_f}}\notag \]

此時根據\(A_{v,close}={A_{v,open}/(1+g_{21}A_{v,open})}\)即可求得閉環增益。

電流-電壓反饋

電流-電壓反饋前饋網絡采用Y參數進行建模，反饋網絡采用Z參數。這是由於前饋網絡的輸入為電壓信號，輸出為電流信號，因此前饋網絡的增益為跨導量綱；而反饋信號的輸入為電流信號，輸出為電壓信號，增益為阻抗量綱。

電流-電壓反饋的加載效應可以體現為以下形式：

• 電路示例：

開環增益計算為：

\[G_{m,open}={I_{out}\over{V_b}}\approx{A_1g_m}\notag \]

反饋系數\(z_{21}\)可由\(I_2=0\)條件下求得

\[\beta=z_{21}={V_{fb}\over{I_{out}}}|_{I_2=0}=r_M\notag \]

則閉環輸出電流為

\[I_{out}={A_1g_m\over{1+A_1g_mr_M}}V_b\notag \]

開環時的負載看到的阻抗為\(r_O+r_M\)，反饋調節了輸出電流使輸出阻抗提高了\(A_1g_mr_M\)倍，為

\[Z_{out}=(1+A_1g_mr_M)(r_O+r_M)\notag \]

使得該電路更接近理想電流源。

電壓-電流反饋

電壓-電流反饋前饋網絡采用Z參數進行建模，反饋網絡采用Y參數進行建模。加載效應可表現為以下形式：

• 電路實例：

開環增益可通過考慮加載效應的開環等效電路圖得到

\[R_{0,open}=-R_Fg_m(R_F||R_D)\notag \]

反饋系數\(y_{21}\)可由\(I_{fb}=V_{fb}y_{22}+V_{out}y_{21}\)當\(V_{fb}=0\)時求得：

\[\beta=y_{21}={I_{fb}\over{V_{out}}}|_{V_{fb}=0}=-{1\over{R_F}}\notag \]

則閉環增益\(R_{0,close}\)為

\[R_{0,close}={V_{out}\over{I_{in}}}={R_{0,open}\over{1+\beta R_{0,open}}}={-R_Fg_m(R_F||R_D)\over{1+g_m(R_F||R_D)}}\notag \]

電流-電流反饋

電流-電流反饋前饋網絡和反饋網絡都屬於電壓放大器模型，都是用H模型進行建模。其加載效應如下所示：

• 電路實例：

開環增益為：

\[A_{i,open}={I_{out}\over{I_{in}}}={-(R_F+R_S)g_{m1}R_D{1\over{R_S||R_F+1/g_{m2}}}}\notag \]

反饋系數由\(I_{fb}=V_{fb}h_{22}+I_{out}h_{21}\)得到：

\[\beta={h_{21}}={I_{fb}\over{I_{out}}}|_{V_{fb}=0}=-{R_S\over{R_F+R_S}}\notag \]

則可由\(A_{i,close}={A_{i,open}/(1+\beta A_{i,open})}\)求得閉環增益。

加載效應小結

四種反饋結構的加載效應開環等效如下表所示：

電壓-電壓反饋	電流-電壓反饋
電壓-電流反饋	電流-電流反饋

計算閉環增益的步驟為：

1. 畫出相應電路包含加載效應的開環等效電路圖；
2. 根據等效圖計算開環增益\(A_{open}=OUT/IN\)，此時求得的開環增益包含了加載效應的影響；
3. 計算反饋系數\(\beta\)，根據使用的等效參數模型（Z，Y，G，H）的等式來求得反饋系數；
4. 根據得到的\(A_{open}\)和\(\beta\)即可求得環路增益\(LP=\beta A_{open}\)和閉環增益\(A_{close}=A_{open}/1+{\beta A_{open}}\)；
5. 求系統的輸入/輸出阻抗。根據等效電路圖先求得開環時的輸入/輸出阻抗，然后根據反饋類型和環路增益可以求得閉環時的輸入/輸出阻抗。

二端口等效的優勢與局限

優點	缺點
計算開環增益時包含加載效應	忽略了前饋效應(可能會忽視零點)
能較為簡單且精確地求得環路增益和閉環增益	不能應用於非規范結構
可以遞歸地應用於多重反饋機制	-

波特法

波特法原理與意圖

詳見拉扎維第二版282~286頁。

波特分析

波特分析中需要計算A，B，C，D四個系數。以具體電路為例：

圖(a)為原始電路，為了求得A，C系數，將電路中的一個受控源去掉，得到了圖(b)；為了求得B，D系數，將輸入信號置零，得到了圖(c)。

受控源為0	輸入信號為0
$$A={V_{out}\over{V_{in}}}={R_D\over{R_D+R_S+R_F}}$$	$$B={V_{out}\over{I_1}}=-{R_D(R_S+R_F)\over{R_D+R_S+R_F}}$$
$$C={V_1\over{V_{in}}}={R_F+R_D\over{R_D+R_S+R_F}}$$	$$D={V_1\over{I_1}}=-{R_SR_D\over{R_D+R_S+R_F}}$$

• 環路增益：\(LP=-g_mD\)

• 開環增益：\(A_{open}\approx g_mBC\)(不精確的等效)

• 閉環增益：\(A_{close}=A+{g_mBC\over{1-g_mD}}={A+g_m(BC-AD)\over{1-g_mD}}\)

\(-g_mD\)還可被稱作返回比(RR)，表示環路增益。

布萊克曼阻抗定理(Blackman’s theorem)

該定理采用與波特方法類似的計算形式，用來計算所關心端口的阻抗。

由圖(a)引出

\[V_{in}=AI_{in}+BI_1\tag{8.17} \]

\[V_1=CI_{in}+DI_1\tag{8.18} \]

則端口阻抗為

\[Z_{in}={V_{in}\over{I_{in}}}=A+{g_mBC\over{1-g_mD}}\tag{8.19} \]

為了獲得更加直觀的表達式，我們將公式變形。首先，由式\((8.18)\)可得，當\(I_{in}=0\)時\(V_1/I_1=D\)，我們稱\(-g_mD\)為“開路環路增益”，並以\(T_{OC}\)表示；在式\((8.17)\)中令\(V_{in}=0\)，則可得到\(I_{in}=(-B/A)I_1\)，將該式帶入\((8.18)\)中即可得到\(V_1/I_1={(AD-BC)/A}\)，我們將該量乘以\(-g_m\)稱為“短路環路增益”，並以\(T_{SC}\)表示。

\[T_{OC}=-g_m{V_1\over{I_1}}|_{I_{in}=0}\tag{8.20} \]

\[T_{SC}=-g_m{V_1\over{I_1}}|_{V_{in}=0}\tag{8.21} \]

將\(Z_{in}\)用\(T_{OC}\)和\(T_{SC}\)表示為

\[Z_{in}=A\:{1+T_{SC}\over{1+T_{OC}}}\tag{8.22} \]

• 電路實例：

1. 計算\(A\)，將晶體管受控源禁用，有：

\[A={V_{out}\over{I_{out}}}|_{I_1=0}=r_O+R_S\notag \]

2. 計算\(T_{OC}\)，將所關心的端口開路，有：

\[T_{OC}=-g_m{V_1\over{I_1}}|_{I_{out}=0}=0\notag \]

3. 計算\(T_{SC}\)，將所關心的端口短路，有：

\[T_{SC}=-g_m{V_1\over{I_1}}|_{V_{out}=0}=+g_m(R_S||r_O)\notag \]

4. 計算端口阻抗\(R_{out}\)，有：

\[R_{out}=A\:{1+T_{SC}\over{1+T_{OC}}}=(1+g_mr_O)R_S+r_O\notag \]

環路增益計算

計算環路增益時常常會斷開環路進行計算，而斷開環路的位置不同可能會導致加載效應。以下是斷開環路並插入測試源的一些建議

• 如果希望注入電壓：在MOS管柵極斷開環路，一端注入測試電壓，在另一端得到輸出電壓；

• 如果希望注入電流：替換MOS管的受控源，在MOS柵極得到輸出電壓，此時環路增益為\((-V_{GS}/I_1g_m)\)。

使用返回比RR計算時可能會遇到一種情況：系統中的晶體管(\(g_m\)級)不止一個，此時應該對哪個晶體管計算返回比呢？建議是

盡量不要破壞系統中存在的反饋

波特法的另一種解釋

增益漸進形式

已知閉環增益為\(A_{close}=A+{g_mBC/{1-g_mD}}\)，禁用受控源時，即\(g_m=0\)時\(A_{close}=A\)；當受控源非常強，即\(g_m\rightarrow\infty\)，則\(A_{close}=A-BC/D\)。我們將\(g_m=0\)時的閉環增益稱為\(H_0\)，可以理解為直接饋通增益，將\(g_m\rightarrow\infty\)時的閉環增益稱為\(H_{\infty}\)，可以理解為理想增益。令\(T=-g_mD\)，則可得到閉環增益的增益漸進形式：

\[A_{close}=H_{\infty}{T\over{1+T}}+H_0{1\over{1+T}}\tag{8.23} \]

電路實例：

圖中存在兩個MOS管，即存在兩個受控源。選擇\(M_1\)作為受控源，當\(g_{m1}=0\)時，有

\[H_0={(1/g_{m2})||R_S\over{(1/g_{m2})||R_S+R_1+R_2}}\notag \]

當\(g_{m1}=\infty\)時，有

\[H_{\infty}=-{R_2\over{R_1}}\notag \]

令輸入\(V_{in}=0\)，用獨立源\(I_1\)替換\(M_1\)的受控源，計算\(T_1\)

\[T_1=g_mR_D{g_{m2}[R_S||(R_1+R_2)]\over{1-g_{m2}[R_S||(R_1+R_2)]}}{R_1\over{R_1+R_2}}\notag \]

雙零值方法

根據布萊克曼阻抗定理，我們可以考慮將傳輸函數也寫作\(Z_{in}=V_{in}/I_{in}=A(1+T_{SC})/(1+T_{OC})\)的形式，即將阻抗中的\(V_{in}\)替換為增益計算時的\(V_{out}\)，將阻抗中的\(I_{in}\)替換為增益計算的\(V_{in}\)，我們將增益表示為

\[A_{close}={V_{out}\over{V_{in}}}=A{1+T_{out,0}\over{T_{in,0}}}\tag{8.24} \]

其中，\(T_{out,0}\)表示\(V_{out}=0\)時的返回比，\(T_{in,0}\)表示\(V_{in}=0\)時的返回比。

注意滿足\(A\neq 0\)才能使用雙零值方法。

波特法優勢與局限

優點	缺點
不用斷開環路就能計算閉環增益	只存在一種反饋機制時才能得到環路增益
可以應用於任意結構	-

麥德布魯克方法

利用“分離定理”，在不斷開環路的情況下能得到閉環傳輸函數，並且包含非單向環路的影響。

詳情見拉扎維第二版8.7小節(也是較為簡單的描述)，以后有需要再做補充。