反饋習題
准備秋招筆試的過程中發現，無論看書瀏覽多少遍，真到做題的時候還是空白。覺得對於這類基礎內容還是需要多做題才行，畢竟習題也是從很多實際問題中抽象出來的。或許這也能很好證明理論與實踐在學習生涯中的互相關系了吧 =。=！
加油加油吧！
習題8.1
假定\(I_1\)是理想電流源，\(g_{m1}r_{o1}\leq50\)，如果要求增益誤差\(e_A<5\%\)，從這個結構能獲得的最大閉環增益為？此時的低頻閉環輸出阻抗為？
不考慮加載效應時，令開環增益\(g_{m1}r_{o1}=A_0\)，理想情況下閉環增益為\(A_{Ideal}=1/\beta\)。由閉環增益的計算公式得到的真實的閉環增益為
\[A_{Real}={V_{out}\over{V_{in}}}={A_0\over{1+\beta A_0}}={A_0/\beta\over{1/\beta+A_0}}={A_{Ideal}A_0\over{A_{Ideal}+A_0}}={1\over{{1\over{A_{Ideal}}}+{1\over{A_0}}}}\tag{1.1} \]
增益誤差可以表示為：
\[e_A={A_{Ideal}-A_{Real}\over{A_{Ideal}}}=1-{1\over{1+{A_{Ideal}\over{A_0}}}}<5\%\tag{1.2} \]
可以計算出最大閉環增益
\[A_{Ideal}<{A_0\times{5\%\over{95\%}}}<2.632\tag{1.3} \]
由於是電壓-電壓反饋，則此時的輸出阻抗為
\[Z_{close,out}={Z_{open,out}\over{1+{A_0\over{A_{Ideal,max}}}}}={r_O\over{132.6}}\tag{1.4} \]
習題8.5
放大器\(A_0\)的輸出阻抗為\(R_0\)，考慮加載效應后，計算閉環增益和輸出阻抗。
首先判斷反饋類型，該反饋為電壓-電壓負反饋，輸出電壓被分壓器\(R_1\)、\(R_2\)分壓，再將該電壓反饋到運放反相輸入端，並且容易證明是負反饋。
電壓-電壓負反饋的加載效應的開環等效方式為
得到的電路圖如下，其中計算開環增益時\(V_t\)端開路，計算環路增益時需要從\(V_t\)注入電壓信號，測量\(V_f\)的值。
使用此方法開環后的開環增益和開環輸出阻抗為：
\[A_{open}={V_{out}\over{V_{in}}}={A_0{R_1+R_2\over{R_0+R_1+R_2}}}\tag{5.1} \]
\[Z_{out,open}=R_0||(R_1+R_2)\tag{5.2} \]
環路增益為：
\[LP={V_t\over{V_f}}={{R_2\over{R_1+R_2}}A_0{R_2\over{R_0+R_1+R_2}}}\tag{5.3} \]
則閉環增益和閉環輸出阻抗為：
\[A_{close}={A_{open}\over{1+LP}}={A_0{R_1+R_2\over{R_0+R_1+R_2}}\over{1+{R_2\over{R_1+R_2}}A_0{R_2\over{R_0+R_1+R_2}}}}\tag{5.4} \]
\[Z_{out,close}={Z_{out,open}\over{1+LP}}={R_0||(R_1+R_2)\over{{R_2\over{R_1+R_2}}A_0{R_2\over{R_0+R_1+R_2}}}}\tag{5.5} \]
習題8.10
(a)其他題目計算方法類似，不再給出
計算輸入輸出阻抗及電壓增益
該反饋為電壓-電流反饋。在\(M_2\)的柵極斷開環路，此時沒有加載效應。令輸入信號為0，在\(M_2\)的柵極注入電壓信號，並檢測\(V_{out}\)端口的電壓，得到的環路增益為：
\[LP={R_S\over{R_S+{1\over{g_{m2}}}}}\:g_{m1}r_{O1}\tag{10.a.1} \]
同樣在\(M_2\)的柵極斷開環路，保持輸入信號\(V_{in}\)，檢測\(V_{out}\)端口的電壓可得開環增益\(A_{open}\)，同時在相應端口可以求得開環輸入阻抗\(Z_{in,open}\)和開環輸出阻抗\(Z_{out,open}\)，注意計算輸入阻抗時\(R_S\)為電源內阻，不計算。
\[A_{open}={1/g_{m2}\over{R_S+1/g_{m2}}}\:g_{m1}r_{O1}\tag{10.a.2} \]
\[Z_{in,open}=1/g_{m2}\tag{10.a.3} \]
\[Z_{out,open}=r_{O1}\tag{10.a.4} \]
閉環增益為：
\[A_{close}={A_{open}\over{1+LP}}={1/g_{m2}\over{{R_S+1/g_{m2}\over{g_{m1}r_{o1}}}+R_S}}\tag{10.a.5} \]
\[Z_{in,close}={Z_{in,open}\over{1+LP}}={R_S/g_{m2}+(1/g_{m2})^2\over{g_{m1}r_{o1}R_S}}\tag{10.a.6} \]
\[Z_{out,close}={Z_{out,open}\over{1+LP}}={R_S+1/g_{m2}\over{g_{m1}R_S}}={1\over{g_{m1}}}+{1\over{g_{m1}g_{m2}R_S}}\tag{10.a.7} \]
習題8.11
(b)
計算輸入輸出阻抗
解：該反饋為電壓-電壓反饋，畫出小信號模型可以快速地求出輸入/輸出阻抗
\[Z_{in}={1\over{SC_1}}+{{1\over{SC_2}}+(r_{o1}||r_{o2})\over{1+(g_{m1}+g_{m2})(r_{o1}||r_{o2})}}\tag{11.b.1} \]
\[Z_{out}={(r_{o1}||r_{o2})\over{1+{C_2\over{C_1+C_2}}[(g_{m1}+g_{m2})(r_{o1}||r_{o2})+sC_1(r_{o1}||r_{o2})]}}\tag{11.b.2} \]
習題8.15
帶有電流源負載的差動對可表示如圖(a)，其中\(R_0=r_{ON}||r_{OP}\)，\(r_{ON}\)和\(r_{OP}\)分別表示NMOS和PMOS器件的輸出電阻。圖(b)把\(G_{m1}\)和\(G_{m2}\)都接在了負反饋環路中。
1）忽略其他電容，求出\(Z_{in}\)的表達式。畫出\(|Z_{in}|\)隨頻率變化的曲線草圖。
2）從直觀解釋1）的結果。
3）根據每個\(G_m\)級的輸入參考噪聲電壓，計算總輸入參考噪聲電壓和電流。
解：1）可以將雙端口網絡等效為方便計算的單端口網絡，注意電流參考方向的變化。
則有
\[I=I_1+I_2={V\over{R_O}}-{[-VG_{m1}(R_O||{1\over{sC_1}})G_{m2}]}\tag{15.1.1} \]
\[R_{in,close}={R_O(R_OC_1s)\over{R_OC_1s+1+R_O^2G_{m1}G_{m2}}}\tag{15.1.2} \]
求得零點\(Zero=1/R_OC_1\)，極點\(Pole={(1+G_{m1}G_{m2}R_O^2)/R_OC_1}\)。直流時帶入\(s=0\)求得\(R_{in,DC}={R_O/(1+R_O^2G_{m1}G_{m2})}\)；頻率很高時帶入\(s=\infty\)求得\(R_{in,AC}=R_O\)。則曲線圖
2）低頻時，反饋程度較深；頻率逐漸升高時，前饋網絡輸出阻抗下降，使得反饋網絡輸入電壓下降，從而逐漸弱化了反饋的作用。
3）首先求等效輸入噪聲電壓，將輸入短路，可以得到\(\overline{V_{out}^2}=4kT\times 2[{2\over{3}}G_{m1}+{1\over R_O}(R_O||{1\over C_1s})]\)，將該輸出噪聲電壓除以電壓增益的平方，則可求得等效輸入噪聲電壓
\[\overline{V_{n,in}^2}=8kT({2\over 3G_{m1}}+{1\over G_{m1}^2R_O})\tag{15.3.1} \]
然后求噪聲電流，此時需要將輸入端開路，可以求得輸出此時的輸出噪聲電壓為
\[V_{n,out}=-G_{m1}(R_O||{1\over C_1s})[(V_{n,out}+V_{n2})G_{m2}R_O+V_{n1}]=-{G_{m1}(R_O||{1\over C_1s})(G_{m2}R_OV_{n2})\over{1+G_{m1}(R_O||{1\over C_1s})}G_{m2}R_O}\tag{15.3.2} \]
其中，\(V_{n1}\)和\(V_{n2}\)是兩個\(G_m\)級的等效輸入噪聲。還需要計算從輸入電流到輸出電壓的跨阻。有
\[-V_{out}=(V_{out}G_{m2}+I_{in})R_OG_{m2}(R_O||{1\over C_1s})\tag{15.3.3} \]
\[R_m={V_{out}\over{I_{in}}}=-{G_{m1}R_O(R_O||{1\over C_1s})\over{1+G_{m2}G_{m1}R_O(R_O||{1\over C_1s})}}\tag{15.3.3} \]
則等效輸入噪聲電流為
\[I_{n,in}={V_{n,out}\over{R_m}}={G_{m2}R_OV_{n2}+V_{n1}\over{R_O}}\tag{15.3.4} \]
\[\overline{I_{n,in}^2}={G_{m2}^2V_{n2}^2}+{V_{n1}^2\over{R_O^2}}\tag{15.3.5} \]
習題8.19
假設所有電阻為２kΩ，\(g_{m1}=g_{m2}=1/(200\Omega)\)，假定\(\lambda=\gamma=0\)，計算閉環增益和輸出阻抗。
解：可以看出該電路中含有兩個環路，我們需要對環路做迭代計算。首先拆開最外面的環路，因為需要考慮反饋網絡的加載效應。
計算由\(M_2\)和\(R_{F2}\)組成的小環路的閉環增益、輸入/輸出電阻，然后使用電壓放大器模型來等效該部分。
直接使用小信號計算得到
\[R_{in,2}={R_{F2}\over{1+g_{m2}[R_{D2}||(R_{F1}+R_{S1})]}}=261\Omega\tag{19.1} \]
\[R_{out,2}={R_{D2}||(R_{F2}+R_{S1})\over{1+g_{m2}[R_{D2}||(R_{F1}+R_{S1})]}}=174\Omega\tag{19.2} \]
\[A_{V2}=({1\over R_{F2}}-g_m)(R_{D2}||R_{F2})=-3.6\tag{19.3} \]
則回到第一張圖可以計算出系統的開環增益和開環輸出阻抗
\[A_{open}=-{R_{D1}||R_{in2}\over{R_{F1}||R_{F1}}+{1\over g_{m1}}}\cdot A_{V2}=0.69\tag{19.4} \]
\[R_{out,open}=R_{out,2}=174\Omega\tag{19.5} \]
然后在斷開環路的結點插入電壓源\(V_t\)，測試結點另一端\(V_f\)，即可得到環路增益\(LP\)
\[V_f=V_t{R_{F1}\over{R_{F1}+R_{S1}}}\cdot{R_{D1}\over{(R_{s1}+R_{F1})+{1\over g_{m1}}}}\cdot{A_{V2}}\cdot{R_{S1}\over{R_{S1}+R_{F1}}}\tag{19.6} \]
\[LP={V_f\over V_t}=0.75\tag{19.7} \]
則可以算出系統的閉環增益和輸出阻抗了
\[A_{close}={A_{open}\over 1+LP}={0.69\over{1+0.75}}=0.394\tag{19.8} \]
\[R_{out,close}={R_{out,open}\over{1+LP}}={174\over{1+0.75}}=99.5\Omega\tag{19.9} \]
